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Vermehrter und verminderter Grundwert
- Aufschlag um \(p\,\%\):der neue Wert ist \((100+p)\,\%\) des Grundwerts — 80 € plus 20 %: \(120\,\%\) von 80 € \(=96\,€\).
- Rabatt um \(p\,\%\):der neue Wert ist \((100-p)\,\%\) des Grundwerts — 80 € minus 20 %: \(80\,\%\) von 80 € \(=64\,€\).
- Name:vermehrter Grundwert \(G^{+}\) bzw. verminderter Grundwert \(G^{-}\).
Herleitung:
\(G^{+}=G+G\cdot\frac{p}{100}\)
| \(G\) ausklammern
Alter Wert plus der Aufschlag.
\(G^{+}=G\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)\)
Ergebnis
Ein einziger Faktor: bei 20 % Aufschlag \(1{,}2\), bei 20 % Rabatt \(1-0{,}2=0{,}8\).
Merke
Aufschlag und Rabatt: \(G^{+}=G\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)\) · \(G^{-}=G\cdot\left(1-\dfrac{p}{100}\right)\)
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Rückwärts und nacheinander
- Alter Preis gesucht:neuen Preis durch den Faktor teilen — 36 € nach 25 % Rabatt: \(36\,€:0{,}75=48\,€\).
- Probe:\(48\,€\cdot 0{,}75=36\,€\) ✓.
- Falsch wäre:25 % von 36 € aufschlagen — das ergibt 45 €, weil sich die 25 % auf 48 € beziehen.
- Nacheinander:Faktoren multiplizieren: \(+20\,\%\), dann \(-20\,\%\): \(1{,}2\cdot 0{,}8=0{,}96\), also insgesamt \(-4\,\%\).
Stelle zwei Änderungen nacheinander ein. Mit „Überlagern“ legst du den Endpreis auf den Startpreis und siehst, ob etwas übrig bleibt oder fehlt.
Halte fest: Die zweite Änderung bezieht sich auf den neuen Grundwert. Deshalb heben sich \(+20\,\%\) und \(-20\,\%\) nicht auf — erst die Faktoren zeigen, was insgesamt passiert.
3
Allgemeine Hinweise
Rabatt: was übrig bleibt
Bei 30 % Rabatt zahlst du 70 %: Faktor \(0{,}7\), nicht \(0{,}3\).
Rückwärts nicht aufschlagen
Vom reduzierten Preis zurück: durch den Faktor teilen. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis, nicht auf den neuen.
Mehrwertsteuer
Ein Nettopreis plus 19 % Mehrwertsteuer: mal \(1{,}19\). Vom Bruttopreis zurück: durch \(1{,}19\).