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Übung AFB III

Werbung prüfen, Angebote vergleichen, Behauptungen widerlegen: zehn Aufgaben, bei denen du mit Prozenten argumentieren musst.

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Aufgabenblock — AFB III

Zehn Aufgaben zum Begründen, Bewerten und Widerlegen. Hier gibt es kein Eingabefeld: Schreib deine Lösung auf und vergleiche sie dann mit der Musterlösung.

A1
Halb so teuer, doppelt so teuer
AFB III

Ben behauptet: „Wird ein Preis um \(50\,\%\) erhöht und danach um \(50\,\%\) gesenkt, ist man wieder beim alten Preis.“ Widerlege die Aussage.

Hinweis: Worauf beziehen sich die zweiten \(50\,\%\)?

Strategie: Mit einem konkreten Startpreis rechnen, z. B. \(100\,€\).Warum so? Ein Gegenbeispiel reicht, um eine allgemeine Behauptung zu widerlegen.
Lösungsskizze: \(100\,€\cdot 1{,}5=150\,€\) · \(150\,€\cdot 0{,}5=75\,€\) · Gesamtfaktor \(0{,}75\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Beispiel: \(100\,€\to 150\,€\to 75\,€\). Allgemein ist der Gesamtfaktor \(1{,}5\cdot 0{,}5=0{,}75\): Der Preis liegt am Ende \(25\,\%\) unter dem Startpreis. Die Behauptung ist falsch, weil die Senkung sich auf den erhöhten Preis bezieht — \(50\,\%\) von \(150\,€\) sind mehr als \(50\,\%\) von \(100\,€\).

A2
Werbung prüfen
AFB III

Ein Waschmittel reicht jetzt für 26 statt 20 Waschladungen, der Preis bleibt gleich. Die Werbung sagt: „Du sparst \(30\,\%\)!“ Beurteile die Aussage.

Hinweis: Was kostet eine einzelne Waschladung vorher und nachher?

Strategie: Preis pro Ladung vergleichen: vorher \(\frac{P}{20}\), nachher \(\frac{P}{26}\).Warum so? Sparen bezieht sich auf das, was du pro Ladung bezahlst.
Lösungsskizze: \(\frac{20}{26}\approx 0{,}769\) · pro Ladung zahlt man \(76{,}9\,\%\) · Ersparnis \(\approx 23{,}1\,\%\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Die Menge steigt um \(\frac{6}{20}=30\,\%\). Der Preis pro Ladung sinkt aber nur auf \(\frac{20}{26}\approx 76{,}9\,\%\), also um etwa \(23{,}1\,\%\). „30 % mehr Inhalt“ wäre richtig, „30 % gespart“ ist übertrieben: Die Werbung verwechselt den Grundwert.

A3
Zwei Rabatt-Angebote
AFB III

Shop A: \(25\,\%\) Rabatt. Shop B: \(10\,\%\) Rabatt und auf den reduzierten Preis noch einmal \(15\,\%\). Lege dich begründet fest, welches Angebot günstiger ist.

Hinweis: Rechne mit Faktoren.

Strategie: Beide Angebote als Gesamtfaktor schreiben.Warum so? Faktoren sind unabhängig vom Preis — das Ergebnis gilt für jeden Artikel.
Lösungsskizze: A: \(0{,}75\) · B: \(0{,}9\cdot 0{,}85=0{,}765\) · B spart nur \(23{,}5\,\%\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Shop A: Faktor \(0{,}75\). Shop B: \(0{,}9\cdot 0{,}85=0{,}765\), also nur \(23{,}5\,\%\) Rabatt. Shop A ist günstiger — bei einem Preis von \(100\,€\) zahlt man \(75\,€\) statt \(76{,}50\,€\). Die Rabatte von B dürfen nicht addiert werden.

A4
Ein fehlerhaftes Diagramm
AFB III

In der Schülerzeitung steht ein Kreisdiagramm mit den Anteilen „Fußball 40 %, Basketball 35 %, Schwimmen 30 %“. Überprüfe die Angaben.

Hinweis: Was muss bei einem Kreisdiagramm zusammen herauskommen?

Strategie: Prozentsätze addieren, Winkel ausrechnen.Warum so? Ein Kreisdiagramm zeigt die Aufteilung eines Ganzen.
Lösungsskizze: \(40+35+30=105\,\%\) · Winkel \(144^\circ+126^\circ+108^\circ=378^\circ\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Zusammen sind es \(105\,\%\), die Winkel ergäben \(378^\circ\) — mehr als ein Vollkreis. Mögliche Ursachen: Mehrfachnennungen waren erlaubt (dann passt kein Kreisdiagramm, besser ein Säulendiagramm) oder ein Rechenfehler. So ist das Diagramm nicht zeichenbar.

A5
Zinsen für vier Monate
AFB III

Anna legt \(3\,000\,€\) für 4 Monate zu \(3\,\%\) an und rechnet mit \(90\,€\) Zinsen. Nimm Stellung zu ihrer Rechnung.

Hinweis: Für welchen Zeitraum gilt ein Zinssatz?

Strategie: Jahreszinsen und Zeitanteil trennen.Warum so? Der Zinssatz ist immer ein Jahreszinssatz, solange nichts anderes dasteht.
Lösungsskizze: \(90\,€\) wären die Jahreszinsen · \(\frac{4}{12}=\frac13\) · richtig: \(30\,€\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Anna hat die Jahreszinsen berechnet: \(3000\,€\cdot 0{,}03=90\,€\). Für 4 Monate gibt es nur \(\frac{4}{12}\) davon: \(Z=90\,€\cdot\frac{4}{12}=30\,€\). Ihr Ansatz ist also richtig begonnen, aber der Zeitanteil fehlt.

A6
Wie lange anlegen?
AFB III

Tim möchte mit \(2\,000\,€\) bei \(2{,}5\,\%\) genau \(30\,€\) Zinsen bekommen. Entwickle einen Lösungsweg und gib an, wie viele Tage das Geld liegen muss.

Hinweis: Setze alles Bekannte in die Formel für Tageszinsen ein.

Strategie: Zuerst die Jahreszinsen berechnen, dann den Anteil \(\frac{t}{360}\) bestimmen.Warum so? Aus dem Verhältnis „gewünschte Zinsen : Jahreszinsen“ folgt der Zeitanteil.
Lösungsskizze: Jahreszinsen \(50\,€\) · \(\frac{30}{50}=\frac{t}{360}\) · \(t=216\) Tage.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Jahreszinsen: \(2000\,€\cdot 0{,}025=50\,€\). Gewünscht sind \(30\,€\), also \(\frac{30}{50}=0{,}6\) eines Jahres: \(t=0{,}6\cdot 360=216\) Tage (das sind 7 Monate und 6 Tage). Probe: \(50\,€\cdot\frac{216}{360}=30\,€\).

A7
Zwei Banken
AFB III

Bank A: \(3\,\%\) mit Zinseszins. Bank B: \(3{,}2\,\%\), die Zinsen werden jedes Jahr ausgezahlt (kein Zinseszins). Du legst \(1\,000\,€\) für 5 Jahre an. Bewerte die beiden Angebote.

Hinweis: Vergleiche das gesamte Geld nach 5 Jahren.

Strategie: Bank A mit \(1{,}03^5\), Bank B mit fünfmal den gleichen Zinsen.Warum so? Kleine Unterschiede im Zinssatz können den Zinseszins-Vorteil ausgleichen — oder umgekehrt.
Lösungsskizze: A: \(1000\cdot 1{,}03^5\approx 1159{,}27\,€\) · B: \(1000+5\cdot 32=1160\,€\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Bank A: \(1000\,€\cdot 1{,}03^5\approx 1159{,}27\,€\). Bank B: jedes Jahr \(32\,€\), zusammen \(1160\,€\). Für 5 Jahre ist B minimal besser (73 Cent). Bei längerer Laufzeit gewinnt A, weil der Zinseszins jedes Jahr mehr bringt — z. B. nach 10 Jahren: A \(\approx 1343{,}92\,€\), B \(1320\,€\).

A8
Mädchen in zwei Klassen
AFB III

In der 7a sind \(60\,\%\) Mädchen, in der 7b \(40\,\%\). Lea sagt: „Dann sind in beiden Klassen zusammen \(50\,\%\) Mädchen.“ Diskutiere die Aussage.

Hinweis: Probiere verschiedene Klassengrößen aus.

Strategie: Beispiel mit gleich großen und mit verschieden großen Klassen durchrechnen.Warum so? Prozentsätze mit verschiedenen Grundwerten darf man nicht einfach mitteln.
Lösungsskizze: 25 und 25 Kinder → 50 % · 30 und 20 Kinder → \(\frac{18+8}{50}=52\,\%\).
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Musterlösung: Nur bei gleich großen Klassen stimmt es: 25 und 25 Kinder → \(15+10=25\) Mädchen von 50, also \(50\,\%\). Bei 30 und 20 Kindern sind es \(18+8=26\) von 50, also \(52\,\%\). Die Aussage gilt nicht allgemein, weil sich die Prozentsätze auf verschiedene Grundwerte beziehen.

A9
Toms Rückrechnung
AFB III

Tom rechnet: „Nach \(20\,\%\) Rabatt kostet der Rucksack \(64\,€\). Also war der alte Preis \(64\,€+20\,\%\) von \(64\,€=76{,}80\,€\).“ Erläutere Toms Fehler und korrigiere ihn.

Hinweis: Mache die Probe mit Toms Ergebnis.

Strategie: Probe: 20 % von 76,80 € abziehen — kommt 64 € heraus?Warum so? Die 20 % Rabatt wurden vom alten Preis berechnet, nicht vom neuen.
Lösungsskizze: Probe: \(76{,}80\cdot 0{,}8=61{,}44\neq 64\) · richtig: \(64:0{,}8=80\,€\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Tom bezieht die 20 % auf den neuen Preis. Die Probe zeigt den Fehler: \(76{,}80\,€\cdot 0{,}8=61{,}44\,€\). Richtig: \(64\,€\) sind \(80\,\%\) des alten Preises, also \(64\,€:0{,}8=80\,€\). Probe: \(80\,€\cdot 0{,}8=64\,€\) ✓.

A10
Die 72er-Regel
AFB III

Eine Faustregel sagt: Bei \(p\,\%\) Zinseszins verdoppelt sich Geld nach etwa \(72:p\) Jahren. Weise mit dem Taschenrechner nach, dass die Regel für \(p=7\) gut passt.

Hinweis: Rechne \(1{,}07^n\) für mehrere Jahre \(n\).

Strategie: \(72:7\approx 10{,}3\) — dann \(1{,}07^{10}\) und \(1{,}07^{11}\) ausrechnen.Warum so? Mit der Ans-Taste Jahr für Jahr weiterrechnen geht schnell.
Lösungsskizze: \(1{,}07^{10}\approx 1{,}967\) · \(1{,}07^{11}\approx 2{,}105\) · Verdopplung zwischen Jahr 10 und 11.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Faustregel: \(72:7\approx 10{,}3\) Jahre. Rechnung: \(1{,}07^{10}\approx 1{,}967\) (knapp unter 2), \(1{,}07^{11}\approx 2{,}105\). Die Verdopplung passiert also im 11. Jahr, nach gut 10 Jahren — die Faustregel stimmt sehr gut. Mit ganzen Jahren braucht man 11 Jahre.