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Übung AFB II

Rückwärts rechnen, Änderungen nacheinander, Zinstage zählen: zehn Aufgaben, bei denen du mehrere Schritte verbinden musst.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Aufgaben, bei denen du Wissen verknüpfen musst: rückwärts rechnen, Änderungen nacheinander, Zinstage zählen, Formeln umstellen. Nutze die gestuften Tipps nur, wenn du wirklich festhängst.

A1
Zwei Tests
AFB II

Im ersten Test hat Mia 34 von 40 Punkten, im zweiten 43 von 50 Punkten. Vergleiche die beiden Ergebnisse in Prozent.

%
%
Ansatz: Beide Anteile als Bruch schreiben: \(\frac{34}{40}\) und \(\frac{43}{50}\).
Rechenweg: Auf Hundertstel erweitern oder dividieren: \(34:40\) und \(43:50\).
Lösung: Test 1: 85 %, Test 2: 86 % — Test 2 ist knapp besser.
Vollständige Lösung
\(\frac{34}{40}=0{,}85=85\,\%\); \(\frac{43}{50}=\frac{86}{100}=86\,\%\). Obwohl Mia im ersten Test weniger Punkte verloren hat (6 statt 7), ist der zweite Test prozentual besser.
A2
Preis vor dem Rabatt
AFB II

Nach \(20\,\%\) Rabatt kostet ein Videospiel noch \(36\,€\). Ermittle den ursprünglichen Preis.

€
Ansatz: 36 € sind nicht 100 %, sondern das, was nach dem Rabatt übrig bleibt.
Rechenweg: \(36\,€\) entsprechen \(80\,\%\) des alten Preises.
Lösung: \(36\,€:0{,}8=45\,€\).
Vollständige Lösung
\(G^{-}=G\cdot 0{,}8=36\,€\Rightarrow G=36\,€:0{,}8=45\,€\). Probe: \(20\,\%\) von \(45\,€\) sind \(9\,€\), \(45\,€-9\,€=36\,€\). Falsch wäre \(36\,€+20\,\%\) von \(36\,€=43{,}20\,€\).
A3
Mehrwertsteuer
AFB II

Ein Fahrrad kostet ohne Mehrwertsteuer \(250\,€\). a) Berechne den Preis mit \(19\,\%\) Mehrwertsteuer. b) Ein Helm kostet mit Mehrwertsteuer \(71{,}40\,€\). Wie viel kostet er ohne?

€
€
Ansatz: Mit Mehrwertsteuer heißt: \(119\,\%\) des Nettopreises.
Rechenweg: a) mal \(1{,}19\); b) durch \(1{,}19\).
Lösung: a) \(297{,}50\,€\) b) \(60\,€\).
Vollständige Lösung
a) \(250\,€\cdot 1{,}19=297{,}50\,€\). b) \(71{,}40\,€:1{,}19=60\,€\) — nicht \(19\,\%\) von \(71{,}40\,€\) abziehen, denn die \(19\,\%\) beziehen sich auf den Nettopreis.
A4
Rauf und runter
AFB II

Ein Monitor kostet \(200\,€\). Der Preis wird erst um \(10\,\%\) erhöht und danach um \(10\,\%\) gesenkt. Untersuche, wie viel er am Ende kostet und um wie viel Prozent er insgesamt billiger geworden ist.

€
%
Ansatz: Die zweite Änderung bezieht sich auf den erhöhten Preis.
Rechenweg: \(200\,€\cdot 1{,}1\cdot 0{,}9\).
Lösung: \(198\,€\), das sind \(1\,\%\) weniger als \(200\,€\).
Vollständige Lösung
\(200\,€\cdot 1{,}1=220\,€\); \(220\,€\cdot 0{,}9=198\,€\). Gesamtfaktor \(1{,}1\cdot 0{,}9=0{,}99\), also \(1\,\%\) billiger.
A5
Umfrage zum Schulweg
AFB II

In einer Umfrage unter 60 Kindern fahren 27 mit dem Rad. Erstelle die Angaben für das Kreisdiagramm: Prozentsatz und Mittelpunktswinkel.

%
°
Ansatz: Zuerst den Anteil bilden: \(\frac{27}{60}\).
Rechenweg: \(27:60=0{,}45\); danach \(45\cdot 3{,}6^\circ\).
Lösung: \(45\,\%\) und \(162^\circ\).
Vollständige Lösung
\(\frac{27}{60}=0{,}45=45\,\%\); \(\alpha=45\cdot 3{,}6^\circ=162^\circ\). Alternativ direkt: \(\frac{27}{60}\cdot 360^\circ=162^\circ\).
A6
Zinstage zählen
AFB II

\(2\,700\,€\) werden am 12.02. eingezahlt und am 27.06. abgehoben, Zinssatz \(2\,\%\). Bestimme die Zinstage (Bankjahr) und die Zinsen.

Tage
€
Ansatz: Februar: \(30-12\) Tage, dann volle Monate März bis Mai, dann 27 Tage im Juni.
Rechenweg: \(18+90+27\) Tage; \(Z=2700\,€\cdot 0{,}02\cdot\frac{t}{360}\).
Lösung: 135 Tage, \(20{,}25\,€\).
Vollständige Lösung
\(t=18+3\cdot 30+27=135\) Tage. \(Z=2700\,€\cdot 0{,}02\cdot\frac{135}{360}=54\,€\cdot 0{,}375=20{,}25\,€\).
A7
Welcher Zinssatz?
AFB II

\(5\,000\,€\) bringen in einem Jahr \(87{,}50\,€\) Zinsen. Leite aus der Zinsformel den Zinssatz her.

%
Ansatz: Gesucht ist \(p\,\%\), bekannt sind \(K\) und \(Z\).
Rechenweg: \(p\,\%=\frac{Z}{K}=\frac{87{,}50}{5000}\).
Lösung: \(0{,}0175=1{,}75\,\%\).
Vollständige Lösung
\(p\,\%=\frac{87{,}50\,€}{5000\,€}=0{,}0175=1{,}75\,\%\).
A8
Kapital aus Monatszinsen
AFB II

Für 4 Monate gab es bei \(1{,}5\,\%\) genau \(12\,€\) Zinsen. Stelle eine Gleichung auf und berechne das Kapital.

€
Ansatz: \(12=K\cdot\frac{1{,}5}{100}\cdot\frac{4}{12}\).
Rechenweg: \(\frac{1{,}5}{100}\cdot\frac{4}{12}=0{,}005\), also \(12=K\cdot 0{,}005\).
Lösung: \(K=12:0{,}005=2400\,€\).
Vollständige Lösung
\(12\,€=K\cdot 0{,}015\cdot\frac{4}{12}=K\cdot 0{,}005\Rightarrow K=2400\,€\). Probe: Jahreszinsen \(36\,€\), davon \(\frac{4}{12}\): \(12\,€\).
A9
Drei Jahre Zinseszins
AFB II

\(1\,500\,€\) werden 3 Jahre zu \(4\,\%\) mit Zinseszins angelegt. Zeige durch Rechnung Jahr für Jahr, wie hoch der Kontostand nach 3 Jahren ist (auf Cent gerundet).

€
Ansatz: Jedes Jahr mit dem Zinsfaktor \(1{,}04\) multiplizieren.
Rechenweg: \(K_3=1500\,€\cdot 1{,}04^3\).
Lösung: \(1687{,}30\,€\).
Vollständige Lösung
\(1500\cdot 1{,}04=1560\); \(1560\cdot 1{,}04=1622{,}40\); \(1622{,}40\cdot 1{,}04=1687{,}296\approx 1687{,}30\,€\). Ohne Zinseszins wären es nur \(1680\,€\).
A10
Hin und zurück in Prozent
AFB II

Eine Jahreskarte fürs Schwimmbad kostet \(40\,€\). Der Preis steigt auf \(46\,€\) und wird ein Jahr später wieder auf \(40\,€\) gesenkt. Interpretiere beide Änderungen in Prozent (auf zwei Stellen gerundet).

%
%
Ansatz: Bezugsgröße ist jeweils der Preis vor der Änderung.
Rechenweg: Erhöhung: \(\frac{6}{40}\); Senkung: \(\frac{6}{46}\).
Lösung: \(15\,\%\) und \(\approx 13{,}04\,\%\).
Vollständige Lösung
Beide Male ändert sich der Preis um \(6\,€\). Erhöhung: \(\frac{6}{40}=15\,\%\). Senkung: \(\frac{6}{46}\approx 0{,}1304=13{,}04\,\%\) — kleiner, weil der Grundwert \(46\,€\) größer ist.