Übung AFB III

Musterlösung: Die Rechnung selbst stimmt: Bei einer antiproportionalen Zuordnung ergibt \(10\,\text{h}:100=0{,}1\,\text{h}=6\,\text{min}\). Das Modell setzt aber voraus, dass jeder Maler ungestört gleich schnell arbeitet. 100 Maler stehen sich in der Halle im Weg, Leitern und Wandflächen reichen nicht, und Farbe muss trocknen. Das antiproportionale Modell gilt nur für wenige Maler; für 100 Maler liefert es keine sinnvolle Antwort.

Musterlösung: Der Zusammenhang ist höchstens gleichsinnig: Mehr Lernzeit führt oft zu mehr Punkten. Proportional ist er nicht. Wer 2 Stunden lernt und 20 Punkte hat, bekommt mit 4 Stunden nicht sicher 40 Punkte. Schon ohne Lernen hat man meist einige Punkte (kein Ursprung), und die Punktzahl ist nach oben begrenzt. Außerdem hängt die Note noch von anderen Dingen ab. Miras Schluss ist falsch.

Musterlösung: Großpackung: \(4{,}20\,€:1{,}5\,\text{kg}=2{,}80\,€\) pro kg. Kleine Packung: \(1{,}30\,€:0{,}5\,\text{kg}=2{,}60\,€\) pro kg. Drei kleine Packungen (\(1{,}5\,\text{kg}\)) kosten \(3{,}90\,€\) und damit \(30\) Cent weniger. Die Aussage stimmt hier nicht — man muss immer den Preis pro Einheit vergleichen.

Musterlösung: Für jede proportionale Zuordnung gilt \(y=k\cdot x\) mit einem festen Faktor \(k\). Setzt man \(x=0\) ein, erhält man \(y=k\cdot0=0\). Also gehört zu \(x=0\) immer \(y=0\), der Punkt \((0\,|\,0)\) liegt auf jedem solchen Graphen. Anschaulich: 0 kg kosten 0 €.

Musterlösung: Beispiel: Freizeitpark mit \(4\,€\) Eintritt und \(2\,€\) pro Fahrt. Fahrten → Kosten: \(1\mapsto6\), \(2\mapsto8\), \(3\mapsto10\). Mehr Fahrten kosten mehr (je mehr, desto mehr). Die Quotienten \(6:1=6\), \(8:2=4\), \(10:3\approx3{,}33\) sind verschieden, also ist die Zuordnung nicht proportional.

Musterlösung: Richtig ist \(y=2\cdot6+3=15\,€\). Lena hat \(21\,€\), weil sie mit dem Dreisatz auch den Grundpreis verdreifacht hat — der fällt aber nur einmal an. Der Dreisatz funktioniert nur bei proportionalen Zuordnungen; diese hier ist wegen des Grundpreises nicht proportional.

Musterlösung: Bei A steht 1 cm für \(10\,000\,\text{cm}=100\,\text{m}\), bei B für \(1\,000\,000\,\text{cm}=10\,\text{km}\). Als Bruch ist \(\frac{1}{10\,000}\) größer als \(\frac{1}{1\,000\,000}\). Karte A hat also den größeren Maßstab: Sie zeigt einen kleinen Ausschnitt mit vielen Einzelheiten (Stadtplan). Karte B zeigt ein großes Gebiet mit wenig Details (Landkarte). Jan verwechselt die Zahl \(n\) mit dem Maßstab.

Musterlösung: Weil die Zuordnung proportional ist, gilt \(y_1=k\cdot x_1\) und \(y_2=k\cdot x_2\) mit demselben \(k\ne0\). Dann ist \(y_1:y_2=\frac{k\cdot x_1}{k\cdot x_2}=\frac{x_1}{x_2}=x_1:x_2\). Genau das nutzt der Dreisatz: Das Dreifache von \(x\) gehört zum Dreifachen von \(y\).

Musterlösung: Wird \(x\) mit \(\frac32\) multipliziert, muss \(y\) mit \(\frac23\) multipliziert werden, damit \(x\cdot y\) gleich bleibt. Regel: „Wird \(x\) um die Hälfte größer, wird \(y\) um ein Drittel kleiner.“ Beispiel mit \(k=24\): \(x=4\), \(y=6\); \(x=6\), \(y=24:6=4\) — und \(4\) ist \(\frac23\) von \(6\). Falsch wäre „\(y\) wird um die Hälfte kleiner“ (das ergäbe 3).

Musterlösung: Möglich sind: zwei Busse B (60 Plätze, \(780\,€\)), A und B (75 Plätze, \(930\,€\)) oder zwei Busse A (90 Plätze, \(1080\,€\)). Pro Platz ist Bus A günstiger (\(540:45=12\,€\) gegenüber \(390:30=13\,€\)), aber bei zwei A-Bussen bleiben 30 Plätze leer. Zwei Busse B sind genau voll und am billigsten: \(780\,€\), also \(13\,€\) pro Person. Entscheidung: zwei Busse B.