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Übung AFB II

Von der Klassenfahrt bis zum Aquarium: zehn Sachaufgaben, in denen hinter jeder Zahl ein Quotient oder ein Produkt steckt.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Aufgaben aus allen Unterkapiteln: erst die Zuordnungsart erkennen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Busfahrt zur Klassenfahrt
AFB II

Für den Bus zur Klassenfahrt zahlen 24 Kinder je \(15\,€\). Kurz vorher melden sich 6 weitere Kinder an; die Buskosten bleiben gleich.

a) Berechnen Sie die gesamten Buskosten. b) Wie viel zahlt jedes Kind jetzt?

€
€
Ansatz: Die Gesamtkosten bleiben gleich: Kinder · Betrag pro Kind ist konstant — antiproportional.
Rechenweg: a) \(24\cdot15\). b) Jetzt fahren \(24+6=30\) Kinder mit: Gesamtkosten durch 30.
Lösung: a) \(360\,€\) b) \(12\,€\)
Vollständige Lösung
a) \(24\cdot15\,€=360\,€\) — das ist das gleichbleibende Produkt. b) \(360\,€:30=12\,€\). Mehr Kinder, weniger pro Kind: antiproportional, denn \(24\cdot15=30\cdot12\).
A2
Ist die Tabelle proportional?
AFB II
\(x\)2458
\(y\)367,512

a) Überprüfen Sie, ob die Zuordnung proportional ist, und geben Sie den Faktor \(k\) an. b) Welcher \(y\)-Wert gehört zu \(x=11\)?

Ansatz: Alle Quotienten \(y:x\) bilden und vergleichen.
Rechenweg: \(3:2\), \(6:4\), \(7{,}5:5\), \(12:8\) — alle gleich? Dann \(y=k\cdot x\) mit \(x=11\).
Lösung: a) \(k=1{,}5\) b) \(y=16{,}5\)
Vollständige Lösung
a) \(3:2=6:4=7{,}5:5=12:8=1{,}5\): Alle Quotienten sind gleich, die Zuordnung ist proportional mit \(k=1{,}5\). b) \(y=1{,}5\cdot11=16{,}5\).
A3
Der Schulhof im Plan
AFB II

Im Plan der Schule (Maßstab \(1:500\)) ist der rechteckige Schulhof \(12\,\text{cm}\) lang und \(8\,\text{cm}\) breit.

a) Bestimmen Sie die wirkliche Länge. b) Wie groß ist die Fläche des Schulhofs in Wirklichkeit?

m
m²
Ansatz: Erst beide Seiten in Wirklichkeit umrechnen, dann die Fläche berechnen.
Rechenweg: \(12\,\text{cm}\cdot500=6000\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\cdot500=4000\,\text{cm}\); in m umrechnen und multiplizieren.
Lösung: a) \(60\,\text{m}\) b) \(2400\,\text{m}^2\)
Vollständige Lösung
a) \(12\cdot500=6000\,\text{cm}=60\,\text{m}\). b) Breite \(8\cdot500=4000\,\text{cm}=40\,\text{m}\), Fläche \(60\,\text{m}\cdot40\,\text{m}=2400\,\text{m}^2\). Achtung: Nicht die Plan-Fläche \(96\,\text{cm}^2\) mal 500 rechnen — Flächen wachsen mit \(500\cdot500\).
A4
Zwei Handytarife
AFB II

Tarif A kostet \(0{,}09\,€\) pro Minute. Tarif B kostet \(5\,€\) im Monat plus \(0{,}04\,€\) pro Minute.

Vergleichen Sie die Kosten für 150 Minuten im Monat: a) Tarif A, b) Tarif B.

€
€
Ansatz: Tarif A ist proportional (\(y=0{,}09\cdot x\)), Tarif B hat eine Grundgebühr (\(y=0{,}04\cdot x+5\)).
Rechenweg: Jeweils \(x=150\) einsetzen.
Lösung: a) \(13{,}50\,€\) b) \(11{,}00\,€\)
Vollständige Lösung
a) \(0{,}09\cdot150=13{,}50\,€\). b) \(0{,}04\cdot150+5=6+5=11\,€\). Bei 150 Minuten ist B günstiger. Tarif B ist nicht proportional: doppelt so viele Minuten kosten nicht das Doppelte.
A5
Futter für die Kaninchen
AFB II

Ein Futtervorrat reicht für 12 Kaninchen genau 10 Tage. Vier Kaninchen werden an eine andere Familie abgegeben.

a) Ermitteln Sie, für wie viele „Kaninchentage“ das Futter reicht. b) Wie viele Tage reicht es jetzt?

Ansatz: Weniger Kaninchen, mehr Tage: antiproportional. Das Produkt ist der Vorrat.
Rechenweg: a) \(12\cdot10\). b) Es bleiben \(12-4=8\) Kaninchen: Vorrat durch 8.
Lösung: a) 120 b) 15 Tage
Vollständige Lösung
a) \(12\cdot10=120\) Kaninchentage. b) \(120:8=15\) Tage. Probe: \(8\cdot15=120\) ✓ (Annahme: jedes Kaninchen frisst gleich viel).
A6
Nudelauflauf für mehr Gäste
AFB II

Ein Rezept für 4 Personen braucht \(300\,\text{g}\) Nudeln und \(200\,\text{ml}\) Sahne.

Stellen Sie jeweils einen Dreisatz auf: a) Nudeln für 6 Personen, b) Sahne für 7 Personen.

g
ml
Ansatz: Mehr Personen, mehr Zutaten im gleichen Verhältnis: proportional. Über eine Person rechnen.
Rechenweg: a) 1 Person \(300:4=75\,\text{g}\), dann \(\cdot 6\). b) 1 Person \(200:4=50\,\text{ml}\), dann \(\cdot 7\).
Lösung: a) \(450\,\text{g}\) b) \(350\,\text{ml}\)
Vollständige Lösung
a) 4 Pers. ≙ 300 g · 1 Pers. ≙ 75 g · 6 Pers. ≙ 450 g. b) 4 Pers. ≙ 200 ml · 1 Pers. ≙ 50 ml · 7 Pers. ≙ 350 ml.
A7
Fahrt in die Ferien
AFB II

Familie Kaya fährt \(150\,\text{km}\) zu den Großeltern. Mit durchschnittlich \(75\,\text{km/h}\) dauert die Fahrt 2 Stunden.

a) Untersuchen Sie die Fahrzeit bei \(100\,\text{km/h}\). b) Welches Tempo braucht man für eine Fahrzeit von \(2{,}5\,\text{h}\)?

h
km/h
Ansatz: Tempo mal Zeit ergibt immer die Strecke \(150\,\text{km}\): antiproportional.
Rechenweg: a) \(150:100\). b) \(150:2{,}5\).
Lösung: a) \(1{,}5\,\text{h}\) b) \(60\,\text{km/h}\)
Vollständige Lösung
a) \(150\,\text{km}:100\,\text{km/h}=1{,}5\,\text{h}\) (1 h 30 min). b) \(150\,\text{km}:2{,}5\,\text{h}=60\,\text{km/h}\). Das Produkt Tempo · Zeit ist in allen Fällen 150.
A8
Aquarium füllen
AFB II

Ein Aquarium fasst \(120\) Liter. Ein Schlauch liefert \(8\) Liter pro Minute.

a) Begründen Sie mit einer Rechnung die Füllzeit. b) Wie lange dauert es mit zwei gleichen Schläuchen?

min
min
Ansatz: a) Inhalt durch Liter pro Minute. b) Doppelt so viele Schläuche, halbe Zeit.
Rechenweg: a) \(120:8\). b) Zwei Schläuche liefern \(16\) Liter pro Minute.
Lösung: a) 15 min b) 7,5 min
Vollständige Lösung
a) \(120:8=15\) Minuten. b) \(120:16=7{,}5\) Minuten — antiproportional: Anzahl Schläuche · Zeit \(=15\) Schlauch-Minuten.
A9
Graph durch einen Punkt
AFB II

Der Graph einer proportionalen Zuordnung (Liter → Preis in €) geht durch den Punkt \((4\,|\,10)\).

Deuten Sie den Punkt als Preis pro Liter. a) Welcher Preis gehört zu 10 Litern? b) Wie viele Liter bekommt man für \(40\,€\)?

€
l
Ansatz: Proportional: Aus dem Punkt den Faktor \(k=y:x\) bestimmen.
Rechenweg: \(k=10:4=2{,}5\) € pro Liter. a) \(2{,}5\cdot10\). b) \(40:2{,}5\).
Lösung: a) \(25\,€\) b) \(16\) Liter
Vollständige Lösung
\(k=10:4=2{,}5\), also \(y=2{,}5\cdot x\). a) \(2{,}5\cdot10=25\,€\). b) \(2{,}5\cdot x=40\Rightarrow x=40:2{,}5=16\) Liter.
A10
Regel hinter der Tabelle
AFB II
\(x\)1234
\(y\)7111519

a) Leiten Sie die Zuordnungsvorschrift her und berechnen Sie \(y\) für \(x=10\). b) Welcher \(y\)-Wert gehört zu \(x=0\)?

Ansatz: Um wie viel wächst \(y\), wenn \(x\) um 1 wächst? Das ist der Faktor vor \(x\).
Rechenweg: \(y\) wächst jeweils um 4 → \(y=4\cdot x+\,?\); bei \(x=1\): \(4\cdot1=4\), bis 7 fehlen 3.
Lösung: a) \(43\) b) \(3\)
Vollständige Lösung
Zuwachs 4 pro Schritt: \(y=4\cdot x+3\). Probe: \(4\cdot3+3=15\) ✓. a) \(4\cdot10+3=43\). b) \(4\cdot0+3=3\). Die Zuordnung ist nicht proportional, weil \(y\) bei \(x=0\) nicht 0 ist.