Proportionale Zuordnungen

1

Doppelt so viel, doppelt so viel

Bei proportionalen Zuordnungen wachsen beide Größen im gleichen Verhältnis.

Proportional:zum Doppelten (Dreifachen, zur Hälfte) von \(x\) gehört das Doppelte (Dreifache, die Hälfte) von \(y\).
Quotientengleich:der Quotient \(y:x\) ist für alle Wertepaare gleich.
Beispiel:3 Brötchen 1,20 €, 5 Brötchen 2,00 €: \(1{,}20:3=2{,}00:5=0{,}40\).
Proportionalitätsfaktor \(k\):dieser gleiche Quotient — hier \(0{,}40\) € pro Brötchen.

Herleitung:

\(\dfrac{y}{x}=k\)

| \(\cdot\, x\)

Der Quotient ist für jedes Wertepaar derselbe Faktor \(k\).

\(y=k\cdot x\)

Ergebnis

So berechnet man zu jedem \(x\) das passende \(y\).

Merke

Proportional: \(\dfrac{y}{x}=k\;\) (quotientengleich) · \(y=k\cdot x\)

2

Der Graph: eine Ursprungsgerade

Proportionale Zuordnungen erkennt man sofort am Graphen.

Graph:alle Punkte liegen auf einer Geraden durch den Ursprung \((0\,|\,0)\).
Warum \((0\,|\,0)\)?0 kg Äpfel kosten 0 €.
Steigung:geht man 1 nach rechts, steigt der Graph um \(k\) — größeres \(k\), steilerer Graph.
Halbgerade:meist sind nur \(x\ge 0\) sinnvoll, der Graph beginnt im Ursprung.

Stelle mit den Reglern den Kilopreis \(k\) und die gekaufte Menge \(x\) ein (auch mit Tab und Pfeiltasten). Beobachte den Punkt, das Dreieck bei 1 kg und den Punkt für die doppelte Menge.

Kilopreis k

Menge x

Halte fest: Jede proportionale Zuordnung hat als Graph eine Ursprungsgerade. Der Faktor \(k\) ist der \(y\)-Wert bei \(x=1\) und bestimmt, wie steil die Gerade ist.

3

Allgemeine Hinweise

Immer y : x rechnen

Der Faktor ist \(y:x\). Wer \(x:y\) rechnet, bekommt „kg pro Euro“ statt „Euro pro kg“.

k hat eine Einheit

Einheit von \(y\) pro Einheit von \(x\): €/kg, km/h, Liter pro Minute.

k direkt ablesen

Im Graphen bei \(x=1\) hochgehen: Der \(y\)-Wert dort ist genau \(k\).