Doppelt so viel, halb so viel
Bei antiproportionalen Zuordnungen wird die eine Größe im gleichen Maß kleiner, wie die andere wächst.
- Antiproportional:zum Doppelten von \(x\) gehört die Hälfte von \(y\), zum Dreifachen ein Drittel.
- Produktgleich:das Produkt \(x\cdot y\) ist für alle Wertepaare gleich.
- Beispiel:2 Personen brauchen 12 Tage, 4 Personen 6 Tage, 3 Personen 8 Tage: \(2\cdot 12=4\cdot 6=3\cdot 8=24\).
- Faktor \(k\):das gleiche Produkt — hier 24 Personentage.
Herleitung:
Antiproportional: \(x\cdot y=k\;\) (produktgleich) · \(y=\dfrac{k}{x}\)
Der Graph: eine Hyperbel
Auch antiproportionale Zuordnungen haben einen typischen Graphen.
- Graph:eine gekrümmte Kurve, eine Hyperbel — keine Gerade.
- Achsen:die Kurve kommt beiden Achsen immer näher, berührt sie aber nie.
- Rechteck:unter jedem Punkt entsteht ein Rechteck mit Breite \(x\) und Höhe \(y\) — sein Flächeninhalt ist immer \(k\).
- Zeichnen:viele Punkte berechnen und frei Hand verbinden, nicht mit dem Lineal.
Alle Beete haben denselben Flächeninhalt. Ziehe die Ecke P des Beets (oder Tab und Pfeiltasten) und beobachte Breite, Länge und Produkt. Jede Stelle, an der du warst, bleibt als Punkt stehen.
Halte fest: Beim Ziehen ändert sich die Form des Beets, sein Flächeninhalt \(x\cdot y\) bleibt gleich — deshalb liegen alle Ecken auf einer Hyperbel.
Allgemeine Hinweise
Produkt, nicht Quotient
Bei antiproportionalen Zuordnungen bleibt \(x\cdot y\) gleich. Der Quotient \(y:x\) ändert sich von Spalte zu Spalte.
Nie bis zur Achse
Für \(x=0\) gibt es keinen Wert — man kann nicht durch 0 teilen. Der Graph endet nicht auf einer Achse.
Schnelltest im Kopf
\(x\) verdoppeln und prüfen, ob \(y\) sich halbiert: 4 Personen 6 Tage, 8 Personen 3 Tage.