MINT lernen

Winkel und Winkelsumme

Zwei Aufgaben vom Hausdach bis zum Radweg, in denen Winkelsätze fehlende Winkel verraten.

1

Der Dachgiebel

AFB I–II

Ein Hausgiebel hat die Form eines gleichschenkligen Dreiecks. Die beiden Dachflächen sind gleich lang und haben eine Dachneigung von 38° gegenüber dem waagerechten Dachboden.

  1. Berechne den Winkel am First (an der Spitze des Giebels).
  2. Bestimme den Winkel zwischen einem senkrechten Stützbalken unter dem First und einer Dachfläche.
  3. Begründe, warum ein solcher Giebel keine Dachneigung von 90° oder mehr haben kann.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Dachneigung ist ein Basiswinkel. Nutze Basiswinkelsatz und Winkelsumme.
Hinweis zu Aufgabe b)
Der Balken steht senkrecht auf dem Dachboden. Betrachte das rechtwinklige Teildreieck.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wie groß wären dann die beiden Basiswinkel zusammen?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Beide Basiswinkel sind 38°. Firstwinkel = 180° − 2 · 38° = 104°.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Im Teildreieck: 90° am Boden, 38° Dachneigung, also 180° − 90° − 38° = 52°. Das ist genau die Hälfte des Firstwinkels.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Zwei gleich große Basiswinkel von mindestens 90° ergeben mindestens 180°. Für den Firstwinkel bliebe nichts übrig — es gäbe kein Dreieck.

2

Zwei Straßen und ein Radweg

AFB II–III

Zwei gerade Straßen g und h verlaufen parallel. Ein gerader Radweg kreuzt beide und bildet mit g einen Winkel von 57°. Zwischen den Straßen führt außerdem ein Fußweg senkrecht von g nach h; Radweg, Fußweg und Straße h bilden ein Dreieck.

  1. Ermittle die beiden Winkel, die der Radweg mit h bildet, und nenne die verwendeten Winkelsätze.
  2. Untersuche, wie groß der dritte Winkel des Dreiecks aus Radweg, Fußweg und h ist.
  3. Beurteile die Aussage: „Wird der Radweg steiler, also 70° statt 57° zu g, dann wird der dritte Winkel größer.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
An parallelen Geraden gelten Stufen- und Wechselwinkel.
Hinweis zu Aufgabe b)
Das Dreieck hat einen rechten Winkel am Fußweg.
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne die neue Situation durch.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Stufenwinkel: 57°; der Nebenwinkel dazu ist 123°. An h entstehen also 57° und 123° (je zweimal als Scheitelwinkel).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Winkel am Fußweg 90°, zwischen Radweg und h 57°, also 180° − 90° − 57° = 33°.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Neuer dritter Winkel: 180° − 90° − 70° = 20°. Er wird kleiner, nicht größer. Die Aussage ist falsch: Die beiden spitzen Winkel ergänzen sich zu 90°.