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Winkel an Geraden
Zwei Geraden bilden vier Winkel. Kommt eine Parallele dazu, wiederholen sich die Winkel.
- Nebenwinkel:liegen nebeneinander an einer Geraden, zusammen \(180^\circ\).
- Scheitelwinkel:liegen sich am Schnittpunkt gegenüber, gleich groß.
- Stufenwinkel:an geschnittenen Parallelen in gleicher Lage, gleich groß.
- Wechselwinkel:an Parallelen „über Kreuz“ (Z-Form), gleich groß.
- Dreiecksarten:spitz-, recht- oder stumpfwinklig; gleichschenklig oder gleichseitig.
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Die Winkelsumme im Dreieck
Ziehe die Ecke C (oder nutze die Pfeiltasten) und lege dann mit „Nächste Ecke“ die Winkel α und β nacheinander an die Ecke C.
Halte fest: α und β passen als Wechselwinkel an die Parallele durch C — zusammen mit γ entsteht ein gestreckter Winkel.
Herleitung:
\(\alpha'+\gamma+\beta'=180^\circ\)
gestreckt
Die Parallele zu AB durch C bildet an C einen gestreckten Winkel.
\(\alpha'=\alpha,\ \ \beta'=\beta\)
Wechselwinkel
Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß.
\(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\)
Ergebnis
α′ und β′ durch α und β ersetzt.
- Folgerung:höchstens ein Winkel ist \(90^\circ\) oder größer.
- Gleichseitig:jeder Winkel \(180^\circ:3=60^\circ\).
Merke
Winkelsumme im Dreieck: \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\)
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Allgemeine Hinweise
Nicht mit dem Viereck verwechseln
Im Viereck ist die Winkelsumme \(360^\circ\) — es lässt sich in zwei Dreiecke zerlegen.
Fehlenden Winkel berechnen
Zwei Winkel bekannt? Dann \(\gamma=180^\circ-\alpha-\beta\), z. B. \(180^\circ-70^\circ-45^\circ=65^\circ\).
Z-Form nur an Parallelen
Wechsel- und Stufenwinkel sind nur gleich groß, wenn die beiden Geraden parallel sind.