Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Aussagen beweisen, Fehler finden und Konstruktionen beurteilen. Formuliere deinen Begründungssatz selbst, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe, warum ein Dreieck nicht zwei rechte Winkel haben kann.
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Musterlösung: Wären zwei Winkel je 90°, ergäben sie zusammen bereits 180°. Für den dritten Winkel bliebe 0° — dann gäbe es gar kein Dreieck. Also hat ein Dreieck höchstens einen rechten Winkel.
Zeige: Der Außenwinkel bei B ist so groß wie α + γ.
Hinweis: Außenwinkel = Nebenwinkel des Innenwinkels β.
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Musterlösung: Für den Außenwinkel β′ gilt β′ + β = 180° (Nebenwinkel). Außerdem α + β + γ = 180° (Winkelsumme). Also β′ + β = α + β + γ; subtrahiert man β, bleibt β′ = α + γ.
Erkläre, warum die Angaben c = 6 cm, a = 4 cm und α = 35° kein eindeutiges Dreieck festlegen.
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Musterlösung: Man zeichnet c, trägt in A den Winkel 35° an und schlägt um B einen Kreis mit r = 4 cm. Da a = 4 cm kürzer als c ist und α der kürzeren Seite gegenüberliegt, schneidet der Kreis den Strahl zweimal. Es entstehen zwei verschiedene Dreiecke — SsW gilt nur mit dem Winkel gegenüber der längeren Seite.
Beweise: Jeder Punkt P auf der Mittelsenkrechten von AB ist von A und B gleich weit entfernt.
Hinweis: M ist der Mittelpunkt von AB.
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Musterlösung: In den Dreiecken AMP und BMP gilt: AM = BM (M ist Mittelpunkt), ∠AMP = ∠BMP = 90° (Mittelsenkrechte), MP ist gemeinsame Seite. Nach SWS sind die Dreiecke kongruent, also ist PA = PB.
Begründe, warum sich die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.
Hinweis: Winkelhalbierende = Ortslinie „gleich weit von beiden Schenkeln“.
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Musterlösung: W liegt auf der Winkelhalbierenden von α, also ist W gleich weit von b und c. W liegt auch auf der Winkelhalbierenden von β, also gleich weit von a und c. Damit ist W von a und b gleich weit entfernt und liegt auf der Winkelhalbierenden von γ. Alle drei Winkelhalbierenden gehen durch W.
Lena behauptet: „Liegt C innerhalb des Thaleskreises über AB, dann ist γ kleiner als 90°.“ Beurteile die Aussage.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Liegt C innerhalb des Thaleskreises, ist γ größer als 90° (C nahe an AB: γ fast 180°). Kleiner als 90° wird γ, wenn C außerhalb liegt.
Begründe mit dem Satz des Thales, dass der Umkreismittelpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks in der Mitte der Hypotenuse liegt.
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Musterlösung: Bei γ = 90° liegt C nach der Umkehrung des Satzes des Thales auf dem Kreis mit Durchmesser AB. Dieser Kreis geht durch alle drei Ecken — er ist der Umkreis. Sein Mittelpunkt ist der Mittelpunkt von AB, also der Mitte der Hypotenuse.
Tom soll ein Dreieck mit a = 3 cm, b = 4 cm und c = 8 cm konstruieren. Beurteile, ob das möglich ist.
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Musterlösung: Nicht möglich: Die Kreise um A (r = 4 cm) und B (r = 3 cm) reichen zusammen nur 7 cm weit, AB ist aber 8 cm lang. Zwei Seiten müssen zusammen länger sein als die dritte (Dreiecksungleichung).
Zeige: Die Diagonale AC teilt ein Parallelogramm ABCD in zwei kongruente Dreiecke.
Hinweis: AB ∥ CD und AD ∥ BC.
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Musterlösung: AC ist gemeinsame Seite. Wegen AB ∥ CD gilt ∠BAC = ∠DCA, wegen AD ∥ BC gilt ∠BCA = ∠DAC (Wechselwinkel). Nach WSW ist △ABC ≅ △CDA.
Beschreibe, wo der Höhenschnittpunkt H in einem spitz-, recht- und stumpfwinkligen Dreieck liegt, und begründe den rechtwinkligen Fall.
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Musterlösung: Spitzwinklig: H innen; stumpfwinklig: H außen. Rechtwinklig (γ = 90°): Die Kathete BC steht senkrecht auf AC, ist also die Höhe von B aus; ebenso ist AC die Höhe von A aus. Beide gehen durch C, also ist H = C.