MINT lernen

Um- und Inkreis

Zwei Aufgaben mit einer Parkbank und einem Pool, bei denen Um- und Inkreis die Lösung sind.

1

Die Bank zwischen drei Bäumen

AFB I–II

In einem Park stehen drei Bäume A, B und C. Eine Bank soll so aufgestellt werden, dass sie von allen drei Bäumen gleich weit entfernt ist.

  1. Nenne den besonderen Punkt, an dem die Bank stehen muss, und die Linien, mit denen man ihn konstruiert.
  2. Berechne den Abstand der Bank zu jedem Baum, wenn die Bäume ein rechtwinkliges Dreieck mit der längsten Seite 18 m bilden.
  3. Erkläre, warum zwei Mittelsenkrechten ausreichen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Gleich weit von Punkten …
Hinweis zu Aufgabe b)
Wo liegt U im rechtwinkligen Dreieck?
Hinweis zu Aufgabe c)
Was weiß man über den Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Umkreismittelpunkt U, konstruiert mit den Mittelsenkrechten von zwei Dreiecksseiten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

U ist der Mittelpunkt der Hypotenuse (Thales). Abstand: 18 m : 2 = 9 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Liegt U auf den Mittelsenkrechten von AB und BC, gilt UA = UB und UB = UC, also auch UA = UC. Damit liegt U automatisch auch auf der dritten Mittelsenkrechten.

2

Der runde Pool

AFB II–III

Familie Weber hat ein dreieckiges Grundstück. Ein runder Pool soll so groß wie möglich werden und alle drei Grundstücksgrenzen genau berühren.

  1. Beschreibe, wie man Mittelpunkt und Radius des Pools konstruiert.
  2. Bestimme den Poolradius, wenn das Grundstück gleichseitig ist und seine Höhe 24 m beträgt.
  3. Beurteile den Vorschlag des Nachbarn, den Pool um den Umkreismittelpunkt mit dem Umkreisradius zu bauen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welcher Kreis berührt alle drei Seiten?
Hinweis zu Aufgabe b)
Im gleichseitigen Dreieck fallen W und S zusammen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wo verläuft der Umkreis im Vergleich zum Grundstück?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Inkreis: zwei Winkelhalbierende schneiden sich in W; Lot von W auf eine Seite liefert den Radius.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

W teilt die Höhe im Verhältnis 2 : 1; der Radius ist das kurze Stück: 24 m : 3 = 8 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ungeeignet: Der Umkreis geht durch die Ecken und liegt sonst außerhalb der Grenzen. Der Pool würde auf die Nachbargrundstücke ragen (im gleichseitigen Fall mit r = 16 m statt 8 m).