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Um- und Inkreis

Ein Kreis geht durch alle drei Ecken, ein anderer berührt alle drei Seiten — wo liegen ihre Mittelpunkte?

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Der Umkreis

Gesucht ist ein Punkt U, der von allen drei Ecken gleich weit entfernt ist. Die Mittelsenkrechte ist die Ortslinie „gleich weit von zwei Punkten“.

Herleitung:

\(U\in m_c\ \Rightarrow\ \overline{UA}=\overline{UB}\)
Ortslinie
U liegt auf der Mittelsenkrechten von AB.
\(U\in m_a\ \Rightarrow\ \overline{UB}=\overline{UC}\)
Ortslinie
U ist zugleich der Schnittpunkt mit der Mittelsenkrechten von BC.
\(\overline{UA}=\overline{UC}\)
gleichsetzen
Beide Strecken sind gleich lang wie \(\overline{UB}\).
\(U\in m_b\)
Ergebnis
Also geht auch die dritte Mittelsenkrechte durch U.
Merke

Umkreis: Die Mittelsenkrechten schneiden sich im Umkreismittelpunkt U.

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Der Inkreis

Gesucht ist ein Punkt W, der von allen drei Seiten gleich weit entfernt ist. Die Winkelhalbierende ist die Ortslinie „gleich weit von zwei Schenkeln“.

  • W auf \(w_\alpha\):gleich weit von den Seiten b und c.
  • W auf \(w_\beta\):gleich weit von den Seiten a und c.
  • Also:gleich weit von a und b — auch \(w_\gamma\) geht durch W.
  • Radius:Lot von W auf eine Seite, nicht die Strecke zu einer Ecke.

Wähle ein Dreieck, blende Umkreis und Inkreis ein und vergleiche sie übereinander oder nebeneinander.

Umkreis und Inkreis im Vergleich

Halte fest: Der Inkreis liegt immer im Dreieck, der Umkreismittelpunkt nur beim spitzwinkligen — nur im gleichseitigen Dreieck fallen U und W zusammen.

Merke

Inkreis: Die Winkelhalbierenden schneiden sich im Inkreismittelpunkt W.

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Allgemeine Hinweise

Umkreis: durch die Ecken

Der Umkreis geht durch A, B und C. Radius ist \(\overline{UA}\) — nicht der Abstand zu einer Seite.

Inkreis: Radius per Lot

Den Inkreisradius erst als Lot von W auf eine Seite konstruieren, dann den Zirkel einstellen.

Rechtwinklig: U auf der Hypotenuse

Im rechtwinkligen Dreieck liegt U genau in der Mitte der längsten Seite — das führt direkt zum Satz des Thales.

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