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Der Satz des Thales

Zwei Aufgaben aus Werkstatt und Garten, in denen der rechte Winkel über den Thaleskreis gefunden wird.

1

Die Mitte einer runden Tischplatte

AFB I–II

Ein Schreiner will den Mittelpunkt einer runden Tischplatte markieren. Er legt die rechtwinklige Ecke seines Winkels so auf die Platte, dass die Ecke genau auf dem Rand liegt. Die beiden Schenkel treffen den Rand in P und Q.

  1. Erkläre, warum PQ ein Durchmesser der Tischplatte ist.
  2. Beschreibe, wie der Schreiner damit den Mittelpunkt findet.
  3. Berechne den Radius, wenn PQ = 1,1 m misst.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welche Aussage kennt man über einen Punkt auf dem Kreis mit rechtem Winkel?
Hinweis zu Aufgabe b)
Ein Durchmesser allein reicht nicht.
Hinweis zu Aufgabe c)
Durchmesser halbieren.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Ecke liegt auf dem Kreis und bildet einen rechten Winkel mit P und Q. Nach der Umkehrung des Satzes des Thales ist PQ dann ein Durchmesser.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Er zeichnet PQ, legt den Winkel an einer anderen Stelle erneut an und erhält einen zweiten Durchmesser. Der Schnittpunkt beider Durchmesser ist der Mittelpunkt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

r = 1,1 m : 2 = 0,55 m = 55 cm.

2

Das rechtwinklige Beet

AFB II–III

Zwischen zwei Pfosten A und B (10 m Abstand) soll ein dreieckiges Beet mit rechtem Winkel bei C entstehen. Die Seite AC soll 6 m lang sein. Zeichnung: 1 cm ≙ 1 m.

  1. Zeichne das Beet mit Zirkel und Lineal.
  2. Bestimme die Anzahl der möglichen Lagen von C und vergleiche die entstehenden Dreiecke.
  3. Beurteile den Vorschlag: „Mit AC = 12 m ginge es genauso.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welche zwei Ortslinien gibt es für C?
Hinweis zu Aufgabe b)
Der Kreis um A schneidet den Thaleskreis oberhalb und unterhalb von AB.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wie weit kann ein Punkt des Thaleskreises höchstens von A entfernt sein?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

AB = 10 cm zeichnen, Mittelpunkt M konstruieren, Thaleskreis um M mit r = 5 cm. Kreis um A mit r = 6 cm. Ein Schnittpunkt ist C; Dreieck ABC zeichnen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Zwei Schnittpunkte (spiegelbildlich zu AB). Die beiden Dreiecke sind kongruent — es gibt also im Wesentlichen nur ein Beet.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Unmöglich: Der Thaleskreis ist höchstens 10 m (bei B) von A entfernt; der Kreis mit r = 12 m trifft ihn nicht. Im rechtwinkligen Dreieck ist AB als Hypotenuse die längste Seite, AC muss kürzer als 10 m sein.