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Der Satz des Thales

Egal, wo C auf dem Halbkreis liegt — der Winkel bei C hat immer dieselbe Größe. Welche?

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Ecke auf dem Halbkreis

Über der Strecke AB wird ein Halbkreis mit Mittelpunkt M gezeichnet. Die dritte Ecke C wandert auf diesem Halbkreis.

Ziehe C (oder Pfeiltasten), lies den Winkel γ am Winkelmesser ab und trage mit „Messen“ mehrere Lagen in die Messtabelle ein. Schalte danach auf „C frei“.

Winkel bei C messen

Halte fest: Liegt C auf dem Halbkreis über AB, misst man bei C jedes Mal 90°. Innerhalb wird γ größer, außerhalb kleiner.

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Satz und Begründung

Zeichnet man MC ein, entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke, denn \(\overline{MA}=\overline{MB}=\overline{MC}=r\). Die Strecke MC teilt γ in \(\gamma_1\) (bei A) und \(\gamma_2\) (bei B).

Herleitung:

\(\alpha+\beta+(\gamma_1+\gamma_2)=180^\circ\)
Winkelsumme
Winkelsumme im Dreieck ABC.
\(\gamma_1+\gamma_2+(\gamma_1+\gamma_2)=180^\circ\)
Basiswinkel
In den gleichschenkligen Dreiecken AMC und MBC gilt \(\alpha=\gamma_1\) und \(\beta=\gamma_2\).
\(2\cdot(\gamma_1+\gamma_2)=180^\circ\)
zusammenfassen
Die Klammer kommt zweimal vor.
\(\gamma=\gamma_1+\gamma_2=90^\circ\)
Ergebnis
Beide Seiten durch 2 geteilt.
  • Thaleskreis:Kreis mit dem Durchmesser AB.
  • Umkehrung:Ist γ = 90°, dann liegt C auf dem Thaleskreis über AB.
  • Anwendung:rechtwinklige Dreiecke konstruieren, Tangenten von einem Punkt an einen Kreis legen.
Merke

Satz des Thales: Liegt C auf dem Kreis mit Durchmesser AB (C ≠ A, B), dann ist \(\gamma=90^\circ\).

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Allgemeine Hinweise

Rechter Winkel bei C

Der rechte Winkel liegt immer bei der Ecke auf dem Kreis, nie bei A oder B. AB ist die längste Seite.

Thaleskreis zeichnen

Erst den Mittelpunkt M von AB konstruieren (Mittelsenkrechte), dann den Kreis mit Radius \(\overline{MA}\).

Nur mit Durchmesser

Der Satz gilt nur, wenn AB ein Durchmesser ist. Liegen A und B auf einer beliebigen Sehne, ist γ kein rechter Winkel.

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