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Ortslinien

Zwei Aufgaben mit Sendemasten und einer Schatzkarte, in denen sich gesuchte Orte als Schnitt von Ortslinien ergeben.

1

Zwei Sendemasten

AFB I–II

Die Sendemasten A und B stehen 8 km voneinander entfernt. Jeder Mast versorgt alle Orte in höchstens 5 km Entfernung. Zeichne im Maßstab 1 cm ≙ 1 km.

  1. Beschreibe das Gebiet, das von beiden Masten zugleich versorgt wird.
  2. Zeichne die Punkte ein, die von beiden Masten genau 5 km entfernt sind, und gib ihre Anzahl an.
  3. Überprüfe, ob ein Ort auf der Strecke AB, 3 km von A entfernt, von beiden Masten versorgt wird.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welche Fläche versorgt ein einzelner Mast?
Hinweis zu Aufgabe b)
Zwei Kreise mit r = 5 cm um A und B, AB = 8 cm.
Hinweis zu Aufgabe c)
Berechne den Abstand zu B.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Jeder Mast versorgt eine Kreisfläche mit r = 5 km. Von beiden versorgt wird das Gebiet, in dem sich die beiden Kreisflächen überlappen — eine linsenförmige Fläche um die Mitte von AB.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Da 5 cm + 5 cm > 8 cm, schneiden sich die Kreise in genau zwei Punkten. Beide liegen auf der Mittelsenkrechten von AB.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Abstand zu A: 3 km ≤ 5 km, Abstand zu B: 8 km − 3 km = 5 km ≤ 5 km. Der Ort liegt gerade noch im Gebiet beider Masten.

2

Die Schatzkarte

AFB II–III

Eine Mauer m und ein Zaun z treffen sich in der Ecke E und bilden einen Winkel. Auf der Karte steht: „Der Schatz liegt 4 m von der Linde L entfernt und gleich weit von Mauer und Zaun.“ Die Linde steht innerhalb des Winkels, 3 m von der Winkelhalbierenden entfernt.

  1. Nenne die beiden Ortslinien, die du zeichnen musst.
  2. Bestimme die Anzahl der möglichen Verstecke und begründe.
  3. Beurteile die Aussage: „Auch wenn die Linde 6 m von der Winkelhalbierenden entfernt stünde, gäbe es noch zwei Verstecke.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Eine Bedingung betrifft einen Punkt, die andere zwei Schenkel.
Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche den Abstand der Linde zur Winkelhalbierenden mit dem Radius.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wann schneidet ein Kreis eine Gerade überhaupt?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Kreis um L mit r = 4 m und die Winkelhalbierende des Winkels bei E.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Kreis hat r = 4 m, die Winkelhalbierende ist nur 3 m von L entfernt. Der Kreis schneidet sie also zweimal: zwei mögliche Verstecke (sofern beide Punkte innerhalb des Winkels liegen).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Falsch: Bei 6 m Abstand und r = 4 m erreicht der Kreis die Winkelhalbierende nicht — es gäbe kein Versteck. Genau zwei Verstecke gibt es nur bei einem Abstand unter 4 m, eins bei genau 4 m.