MINT lernen

Besondere Linien im Dreieck

Zwei Aufgaben zum Balancieren eines Pappdreiecks und zu Höhen im stumpfwinkligen Dreieck.

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Das Pappdreieck

AFB I–II

Ben schneidet ein beliebiges Dreieck ABC aus fester Pappe aus und möchte es auf einer Bleistiftspitze balancieren.

  1. Beschreibe, wie Ben den Balancierpunkt mit Zirkel und Lineal findet.
  2. Berechne den Abstand von A zu S, wenn die Seitenhalbierende von A 9 cm lang ist.
  3. Überprüfe Toms Behauptung: „Man kann genauso gut den Schnittpunkt der Höhen nehmen.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welcher besondere Punkt ist gemeint? Wie viele Linien braucht man mindestens?
Hinweis zu Aufgabe b)
S teilt im Verhältnis 2 : 1 von der Ecke aus.
Hinweis zu Aufgabe c)
Denke an ein stumpfwinkliges Dreieck.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Der Balancierpunkt ist der Schwerpunkt S. Ben konstruiert die Mittelpunkte zweier Seiten (Mittelsenkrechte), verbindet sie mit den gegenüberliegenden Ecken (Seitenhalbierende); der Schnittpunkt ist S.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Zwei Drittel von 9 cm: AS = 6 cm (und 3 cm bis zur Seitenmitte).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Falsch: Im stumpfwinkligen Dreieck liegt H außerhalb der Pappe — dort kann man nicht balancieren. H und S fallen nur im gleichseitigen Dreieck zusammen.

2

Das stumpfe Dreieck

AFB II–III

Ein Dreieck ABC hat die Winkel α = 30° und β = 40°.

  1. Bestimme γ und die Dreiecksart.
  2. Erkläre, warum man zum Zeichnen der Höhe von A die Seite BC verlängern muss.
  3. Beurteile die Aussage: „Im stumpfwinkligen Dreieck liegen alle drei Höhenfußpunkte außerhalb der Seiten.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Winkelsumme.
Hinweis zu Aufgabe b)
Wo trifft das Lot von A die Gerade BC?
Hinweis zu Aufgabe c)
Betrachte die Höhe von C, der Ecke mit dem stumpfen Winkel.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

γ = 180° − 30° − 40° = 110°. Das Dreieck ist stumpfwinklig.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Weil der Winkel bei C stumpf ist, trifft das Lot von A die Gerade BC erst jenseits von C. Die Strecke BC reicht dafür nicht aus.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Falsch: Die Höhe von C auf c trifft AB innerhalb der Strecke, weil α und β spitz sind. Nur die beiden anderen Fußpunkte liegen auf Verlängerungen.