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Die Kongruenzsätze

Zwei Aufgaben aus dem Alltag, bei denen es darauf ankommt, ob drei Angaben ein Dreieck wirklich festlegen.

1

Sonnensegel bestellen

AFB I–II

Eine Firma näht dreieckige Sonnensegel nach Angaben am Telefon. Drei Kunden rufen an:

Kunde 1: „Die Seiten sind 2,5 m, 3 m und 4 m lang.“ — Kunde 2: „Zwei Seiten sind 3 m und 4 m lang, dazwischen liegt ein Winkel von 50°.“ — Kunde 3: „Die Winkel sind 40°, 60° und 80°.“

  1. Gib für jeden Kunden an, welcher Kongruenzsatz passt oder ob keiner passt.
  2. Erkläre, warum die Firma bei Kunde 3 nachfragen muss.
  3. Nenne eine zusätzliche Angabe, mit der Kunde 3 sein Segel eindeutig bestellen kann.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Wo liegt der Winkel bei Kunde 2? Welche Angaben fehlen bei Kunde 3?
Hinweis zu Aufgabe b)
Denke an zwei Segel mit denselben Winkeln.
Hinweis zu Aufgabe c)
Eine einzige Länge reicht.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Kunde 1: SSS. Kunde 2: SWS (Winkel zwischen den Seiten). Kunde 3: WWW — kein Kongruenzsatz.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Mit den Winkeln 40°, 60°, 80° gibt es beliebig viele Segel derselben Form, aber verschiedener Größe. Die Firma weiß nicht, wie groß das Segel werden soll.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Zum Beispiel die Seite zwischen den Winkeln 40° und 60°: Dann gilt WSW. Jede Seitenlänge macht das Segel eindeutig, weil die Winkel schon feststehen.

2

Zwei Messtrupps

AFB II–III

Zwei Gruppen sollen ein dreieckiges Grundstück ABC vermessen. Gruppe 1 misst AB = 40 m, BC = 30 m und den Winkel bei A mit 35°. Gruppe 2 misst AB = 40 m, den Winkel bei A mit 35° und den Winkel bei B mit 110°.

  1. Entscheide, ob die Messung von Gruppe 2 das Grundstück eindeutig festlegt.
  2. Untersuche, ob die Messung von Gruppe 1 ausreicht.
  3. Beurteile die Aussage: „Gruppe 1 hätte statt BC einfach die Seite AC messen sollen — dann wäre alles eindeutig.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welche Stücke liegen an der Seite AB?
Hinweis zu Aufgabe b)
Welcher Seite liegt der Winkel bei A gegenüber? Vergleiche 30 m mit 40 m.
Hinweis zu Aufgabe c)
Welcher Satz gilt mit AB, AC und dem Winkel bei A?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ja: Seite AB mit den beiden anliegenden Winkeln — WSW. Der dritte Winkel ist 180° − 35° − 110° = 35°.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Winkel bei A liegt BC = 30 m gegenüber, also der kürzeren Seite. Der Kreis um B mit 30 m kann den Strahl von A zweimal schneiden: Es sind zwei verschiedene Grundstücke möglich — die Messung reicht nicht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage stimmt: Mit AB, AC und dem Winkel bei A dazwischen gilt SWS. Das Grundstück wäre eindeutig festgelegt.