MINT lernen

Kongruenzen beweisen

Zwei Aufgaben, in denen kongruente Dreiecke eine Flussbreite und die Eigenschaften eines Drachens verraten.

1

Die Flussbreite messen

AFB I–II

Die Klasse will die Breite eines Flusses bestimmen, ohne ihn zu überqueren. Am anderen Ufer steht ein Baum T genau gegenüber von Punkt A. Man geht von A aus 20 m am Ufer entlang bis M und weitere 20 m bis B. In B geht man senkrecht vom Ufer weg ins Land, bis man M und T auf einer Linie sieht; dort ist Punkt D.

  1. Beschreibe die beiden Dreiecke, die in dieser Figur kongruent sind.
  2. Begründe die Kongruenz mit einem Kongruenzsatz.
  3. Erläutere, wie man mit der gemessenen Strecke BD = 34 m die Flussbreite erhält.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Ein Dreieck liegt am Fluss, eins im Land. Beide haben eine Ecke in M.
Hinweis zu Aufgabe b)
Welche Seiten und Winkel sind gleich? Denke an die Winkel bei A, B und M.
Hinweis zu Aufgabe c)
Welche Seite entspricht AT?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Dreiecke ATM und BDM: Das eine hat die Ecken A, T, M, das andere B, D, M.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

AM = MB = 20 m, die Winkel bei A und B sind rechte Winkel (TA und BD stehen senkrecht auf dem Ufer), die Winkel bei M sind Scheitelwinkel. Seite AM mit den anliegenden Winkeln: WSW, also △ATM ≅ △BDM.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

AT entspricht BD, weil A auf B und T auf D liegt. Also ist die Flussbreite AT = BD = 34 m.

2

Der Drachen

AFB II–III

Ein Drachenviereck ABCD hat die Eigenschaften AB = AD und CB = CD. Die Diagonale AC wird eingezeichnet.

  1. Zeige, dass △ABC ≅ △ADC gilt.
  2. Leite daraus her, dass AC den Winkel bei A halbiert.
  3. Beurteile die Aussage: „Genauso gilt △ABD ≅ △CBD.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Suche drei gleiche Seiten.
Hinweis zu Aufgabe b)
Welche Winkel entsprechen sich in der Kongruenz?
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche die Seiten der beiden Dreiecke. Denke an einen langen, schmalen Drachen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

AB = AD und CB = CD sind vorausgesetzt, AC ist gemeinsame Seite. Nach SSS gilt △ABC ≅ △ADC.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Aus △ABC ≅ △ADC folgt ∠BAC = ∠DAC (A liegt auf A, B auf D, C auf C). Also teilt AC den Winkel bei A in zwei gleiche Teile.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Im Allgemeinen falsch: △ABD hat die Seiten AB, AD, BD, △CBD die Seiten CB, CD, BD. AB muss nicht so lang wie CB sein. Nur wenn alle vier Seiten gleich sind (Raute), sind die Dreiecke kongruent.