Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Regeln erklären, Aussagen prüfen und Gegenbeispiele finden, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe, warum man für die Teilbarkeit durch 4 nur die letzten zwei Ziffern prüfen muss.
Hinweis: Zerlege z. B. 7316 = 73 · 100 + 16.
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Musterlösung: Jede Zahl lässt sich schreiben als h · 100 + e, wobei e die Zahl aus den letzten zwei Ziffern ist. Weil 100 = 4 · 25 ist, ist h · 100 immer durch 4 teilbar. Ob die ganze Zahl durch 4 teilbar ist, hängt deshalb nur noch von e ab.
Begründe am Beispiel 738, warum die Quersummenregel für 9 funktioniert.
Hinweis: Nutze 100 = 99 + 1 und 10 = 9 + 1.
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Musterlösung: 738 = 7 · 100 + 3 · 10 + 8 = 7 · (99 + 1) + 3 · (9 + 1) + 8 = (7 · 99 + 3 · 9) + (7 + 3 + 8). Der erste Teil ist durch 9 teilbar. Also entscheidet der Rest 7 + 3 + 8 = 18 — die Quersumme. 18 ist durch 9 teilbar, also auch 738 (738 : 9 = 82).
Beurteile die Aussage: „Jede ungerade Zahl größer als 1 ist eine Primzahl.“
Hinweis: Suche ein Gegenbeispiel.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. 9 ist ungerade, hat aber die Teiler 1, 3 und 9 — also mehr als zwei Teiler. Richtig ist nur die Umkehrung für Zahlen über 2: Jede Primzahl größer als 2 ist ungerade.
Untersuche, ob eine Zahl, die durch 2 und durch 4 teilbar ist, auch durch 8 teilbar sein muss.
Hinweis: Teste 4, 12, 20.
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Musterlösung: Nein. 12 ist durch 2 und durch 4 teilbar, aber nicht durch 8. Wer durch 4 teilbar ist, ist automatisch durch 2 teilbar — die zweite Bedingung bringt nichts Neues. Kombinieren darf man nur teilerfremde Teiler, z. B. 3 und 4 für 12.
Begründe: Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer durch 3 teilbar.
Hinweis: Nenne die kleinste Zahl n.
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Musterlösung: Heißt die kleinste Zahl n, so ist die Summe n + (n + 1) + (n + 2) = 3 · n + 3 = 3 · (n + 1). Das ist ein Vielfaches von 3. Beispiel: 7 + 8 + 9 = 24 = 3 · 8.
Nimm Stellung zu: „Das kgV zweier Zahlen ist immer ihr Produkt.“
Hinweis: Vergleiche kgV(4; 6) und kgV(4; 9).
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Musterlösung: Die Aussage stimmt nur für teilerfremde Zahlen. kgV(4; 9) = 36 = 4 · 9, aber kgV(4; 6) = 12, während 4 · 6 = 24. Das Produkt ist immer ein gemeinsames Vielfaches, aber nur dann das kleinste, wenn ggT = 1 ist.
Erkläre, warum 2 die einzige gerade Primzahl ist.
Hinweis: Welche Teiler hat jede gerade Zahl?
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Musterlösung: Jede gerade Zahl ist durch 2 teilbar. Ist sie größer als 2, hat sie mindestens die drei Teiler 1, 2 und sich selbst — sie ist also keine Primzahl. Nur bei der 2 fallen „2“ und „sie selbst“ zusammen: T(2) = {1; 2}.
Zeige an a = 12 und b = 18, dass ggT(a; b) · kgV(a; b) = a · b gilt, und erkläre es mit den Primfaktoren.
Hinweis: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3².
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Musterlösung: ggT(12; 18) = 2 · 3 = 6, kgV = 2² · 3² = 36, und 6 · 36 = 216 = 12 · 18. Von jedem Primfaktor nimmt der ggT die kleinere, das kgV die größere Anzahl. Zusammen sind das genau alle Faktoren von a und b.
Ermittle alle Zahlen zwischen 100 und 130, die genau drei Teiler haben, und begründe dein Vorgehen.
Hinweis: Teiler kommen paarweise — wann gibt es eine ungerade Anzahl?
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Musterlösung: Teiler kommen in Paaren, nur bei Quadratzahlen fällt ein Paar zusammen. Drei Teiler hat eine Zahl genau dann, wenn sie das Quadrat einer Primzahl ist: T(p²) = {1; p; p²}. Zwischen 100 und 130 ist das nur 121 = 11². (100 = 10² und 144 = 12² liegen außerhalb bzw. haben mehr Teiler.)
Zwei Leuchtfeuer blitzen alle 6 s bzw. alle 8 s, bei 0 s gleichzeitig. Entwickle eine Regel, wie oft sie in einer Minute gleichzeitig blitzen (den Start mitgezählt).
Hinweis: Nutze das kgV.
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Musterlösung: Gleichzeitig blitzen sie bei den Vielfachen von kgV(6; 8) = 24 s: bei 0 s, 24 s und 48 s — also 3-mal. Allgemein: Anzahl = (60 : kgV, abgerundet) + 1.