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Übung — AFB II (Zusammenhänge)

Zehn Sachaufgaben von Stuhlreihen bis Zahnrädern — erst entscheiden, ob ggT oder kgV gefragt ist, dann rechnen.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus dem ganzen Kapitel: erst entscheiden, welches Werkzeug passt, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Stuhlreihen
AFB II

Für ein Konzert werden 48 Stühle in gleich lange Reihen gestellt. In jeder Reihe sollen mindestens 4 und höchstens 12 Stühle stehen.

a) Wie viele Möglichkeiten gibt es? b) Wie viele Reihen entstehen bei 6 Stühlen pro Reihe?

Ansatz: Gesucht sind Teiler von 48 zwischen 4 und 12.
Rechenweg: T(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}; davon 4, 6, 8, 12.
Lösung: a) 4 b) 8
Vollständige Lösung
a) Die Reihenlänge muss 48 ohne Rest teilen: 4, 6, 8 und 12 — also 4 Möglichkeiten. b) 48 : 6 = 8 Reihen.
A2
Fehlende Ziffer
AFB II

In der Zahl 3□24 fehlt eine Ziffer. Die Zahl soll durch 9 teilbar sein.

a) Gib die kleinste mögliche Ziffer an. b) Gib die größte mögliche Ziffer an.

Ansatz: Quersumme muss durch 9 teilbar sein.
Rechenweg: 3 + 2 + 4 = 9, also 9 + □ ∈ {9; 18}.
Lösung: a) 0 b) 9
Vollständige Lösung
Die Quersumme ist 9 + □. Durch 9 teilbar für □ = 0 (Q = 9) und □ = 9 (Q = 18). 3024 : 9 = 336 und 3924 : 9 = 436.
A3
Durch 6 teilbar?
AFB II

Gegeben sind 114, 222, 316, 405, 534 und 1002.

Wie viele dieser Zahlen sind durch 6 teilbar?

Ansatz: Durch 6 heißt: durch 2 und durch 3.
Rechenweg: Gerade? 405 fällt weg. Quersummen: 6, 6, 10, 12, 3.
Lösung: 4
Vollständige Lösung
405 ist ungerade. 316 hat die Quersumme 10 und ist nicht durch 3 teilbar. Übrig: 114, 222, 534, 1002 — also 4 Zahlen.
A4
Primfaktoren von 360
AFB II

Schreibe 360 = 2a · 3b · 5.

a) Bestimme a. b) Bestimme b.

Ansatz: Mit Divisionskette durch 2, dann durch 3 teilen.
Rechenweg: 360 : 2 = 180, : 2 = 90, : 2 = 45, : 3 = 15, : 3 = 5.
Lösung: a) 3 b) 2
Vollständige Lösung
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5. Probe: 8 · 9 · 5 = 360.
A5
Bänder schneiden
AFB II

Ein Band ist 72 cm lang, ein zweites 96 cm. Beide sollen ohne Rest in gleich lange, möglichst lange Stücke geschnitten werden.

a) Wie lang wird ein Stück? b) Wie viele Stücke entstehen insgesamt?

cm
Ansatz: „Möglichst lang, ohne Rest“ → ggT.
Rechenweg: ggT(72; 96) = 24; 72 : 24 = 3, 96 : 24 = 4.
Lösung: a) 24 cm b) 7
Vollständige Lösung
Die Stücklänge muss beide Längen teilen und möglichst groß sein: ggT(72; 96) = 24 cm. Es entstehen 3 + 4 = 7 Stücke.
A6
Busse
AFB II

Linie 1 fährt alle 15 Minuten, Linie 2 alle 20 Minuten. Um 7:00 Uhr fahren beide gleichzeitig ab.

a) Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig? b) Wie oft fahren sie zwischen 7:01 Uhr und 12:00 Uhr gleichzeitig ab?

min
Ansatz: „Wieder gleichzeitig“ → kgV.
Rechenweg: kgV(15; 20) = 60 → 8:00, 9:00, 10:00, 11:00, 12:00.
Lösung: a) 60 min b) 5
Vollständige Lösung
a) kgV(15; 20) = 60 Minuten. b) Gemeinsame Abfahrten jede volle Stunde: 8, 9, 10, 11 und 12 Uhr — 5-mal.
A7
Wandfliesen
AFB II

Eine Wand ist 180 cm breit und 120 cm hoch. Sie soll mit möglichst großen quadratischen Fliesen ohne Schneiden gefliest werden.

a) Welche Seitenlänge haben die Fliesen? b) Wie viele Fliesen braucht man?

cm
Ansatz: Seitenlänge muss 180 und 120 teilen und möglichst groß sein.
Rechenweg: ggT(180; 120) = 60; 180 : 60 = 3, 120 : 60 = 2.
Lösung: a) 60 cm b) 6
Vollständige Lösung
ggT(180; 120) = 60 cm. In der Breite passen 3, in der Höhe 2 Fliesen: 3 · 2 = 6 Fliesen.
A8
Grillfest
AFB II

Würstchen gibt es in 8er-Packungen, Brötchen in 6er-Packungen. Es sollen genauso viele Würstchen wie Brötchen gekauft werden — so wenige wie möglich.

a) Wie viele Würstchen sind das? b) Wie viele Packungen Würstchen braucht man?

Ansatz: Gleiche Anzahl, möglichst wenig → kgV.
Rechenweg: kgV(8; 6) = 24; 24 : 8 = 3.
Lösung: a) 24 b) 3
Vollständige Lösung
Die Anzahl muss Vielfaches von 8 und von 6 sein: kgV(8; 6) = 24. Das sind 3 Packungen Würstchen und 4 Packungen Brötchen.
A9
Bonbontüten
AFB II

42 rote und 56 grüne Bonbons sollen so auf Tüten verteilt werden, dass alle Tüten gleich gefüllt sind und keine Bonbons übrig bleiben. Es sollen möglichst viele Tüten werden.

a) Wie viele Tüten sind es? b) Wie viele grüne Bonbons sind in einer Tüte?

Ansatz: Die Tütenzahl muss 42 und 56 teilen → ggT.
Rechenweg: ggT(42; 56) = 14; 56 : 14 = 4.
Lösung: a) 14 b) 4
Vollständige Lösung
ggT(42; 56) = 14 Tüten. In jeder Tüte: 42 : 14 = 3 rote und 56 : 14 = 4 grüne Bonbons.
A10
Zahnräder
AFB II

Zwei Zahnräder greifen ineinander: das kleine hat 12, das große 18 Zähne. Zwei markierte Zähne berühren sich gerade.

a) Wie viele Zähne sind vorbeigelaufen, bis sie sich wieder berühren? b) Wie viele Umdrehungen hat das kleine Rad dann gemacht?

Ansatz: Beide Räder müssen gleichzeitig volle Umdrehungen schaffen → kgV.
Rechenweg: kgV(12; 18) = 36; 36 : 12 = 3.
Lösung: a) 36 b) 3
Vollständige Lösung
Nach kgV(12; 18) = 36 Zähnen stehen beide Marken wieder am Start: das kleine Rad hat 3, das große 2 Umdrehungen gemacht.