Das Fotoalbum
AFB I–IILea möchte Fotos auf einer Seite in einem rechteckigen Raster anordnen, mit mindestens 2 Reihen und mindestens 2 Fotos pro Reihe. Sie hat 23 Fotos vom Urlaub und 35 Fotos vom Geburtstag.
- Erkläre, warum sich die 23 Urlaubsfotos nicht so anordnen lassen.
- Gib alle Raster für die 35 Geburtstagsfotos an.
- Ermittle die kleinste Anzahl Fotos, die Lea zu den 23 Urlaubsfotos dazulegen muss, damit mindestens zwei verschiedene Raster möglich sind.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
23 ist eine Primzahl: T₂₃ = {1; 23}. Ein Raster bräuchte einen Teiler zwischen 2 und 22 — den gibt es nicht. Möglich wäre nur 1 · 23.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
35 = 5 · 7: 5 Reihen zu 7 Fotos oder 7 Reihen zu 5 Fotos.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Mit 1 Foto mehr: 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6 — schon mehrere Raster (z. B. 2 · 12 und 3 · 8). Also genügt 1 Foto.
Primzahl-Detektive
AFB II–IIIPaul behauptet: „Setzt man in n · n + n + 41 für n die Zahlen 0, 1, 2, 3, … ein, kommt immer eine Primzahl heraus.“
- Berechne den Term für n = 0, 1, 2 und 3 und überprüfe, ob die Ergebnisse Primzahlen sind.
- Widerlege Pauls Behauptung, indem du n = 41 einsetzt.
- Beurteile, was man aus vielen passenden Beispielen über eine allgemeine Aussage schließen darf.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
n = 0: 41; n = 1: 43; n = 2: 47; n = 3: 53. Alle vier sind Primzahlen (testen mit 2, 3, 5, 7 genügt).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
41 · 41 + 41 + 41 = 41 · (41 + 1 + 1) = 41 · 43 = 1763. Die Zahl hat die Teiler 41 und 43 — keine Primzahl.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Viele Beispiele machen eine Vermutung wahrscheinlich, beweisen sie aber nicht. Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um sie zu widerlegen — so wie n = 41 hier.