Primzahlen

Zahlen mit genau zwei Teilern

Primzahlen lassen sich nur durch 1 und durch sich selbst teilen.

Primzahl:\(7\): \(T_7=\{1;7\}\) — genau zwei Teiler.
Zusammengesetzt:\(9\): \(T_9=\{1;3;9\}\) — mehr als zwei Teiler, \(9=3\cdot3\).
Die 1:hat nur einen Teiler — keine Primzahl.
Die 2:die einzige gerade Primzahl; alle anderen geraden Zahlen sind durch \(2\) teilbar.
Bis 50:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Unendlich viele:es gibt keine größte Primzahl — das wusste schon Euklid.

Merke

Primzahl: eine natürliche Zahl mit genau zwei Teilern: \(1\) und sich selbst.

Statt jede Zahl einzeln zu prüfen, streicht man alle Vielfachen weg.

Schritt 1:\(1\) streichen.
Schritt 2:kleinste freie Zahl einkreisen — sie ist eine Primzahl.
Schritt 3:alle ihre Vielfachen streichen.
Wiederholen:bis \(p\cdot p>100\) ist; nach der \(7\) sind alle freien Zahlen Primzahlen.
Ergebnis:\(25\) Primzahlen zwischen \(1\) und \(100\).

Tippe immer die kleinste freie Zahl an: Sie wird eingekreist, ihre Vielfachen werden gestrichen. Mit den Pfeiltasten wanderst du durch die Tafel.

Halte fest: Was nach dem Sieben mit 2, 3, 5 und 7 übrig bleibt, sind die Primzahlen bis 100.

\(9,\ 15,\ 21,\ 27,\ 91\) sind ungerade, aber keine Primzahlen: \(91=7\cdot13\).

Sie hat nur einen Teiler. Primzahlen beginnen bei \(2\).

Ist \(n\) prim? Nur die Primzahlen \(p\) mit \(p\cdot p\le n\) testen: für \(97\) reichen \(2, 3, 5, 7\).