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Primfaktorzerlegung

Zwei Aufgaben, in denen Primfaktoren wie Bausteine benutzt werden.

1

Würfel aus Holzklötzen

AFB I–II

In der Werkstatt liegen 216 gleich große Holzwürfel. Kim will daraus einen großen, vollen Würfel bauen.

  1. Zerlege 216 in Primfaktoren und gib das Ergebnis in Potenzschreibweise an.
  2. Begründe mit der Zerlegung, dass Kim einen vollen Würfel bauen kann, und bestimme seine Kantenlänge in Klötzen.
  3. Ermittle, wie viele Klötze mindestens dazukommen müssten, wenn Kim 180 statt 216 Klötze hätte und trotzdem einen vollen Würfel bauen möchte.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Divisionskette mit 2, dann mit 3.
Hinweis zu Aufgabe b)
Ein Würfel mit Kante k enthält k · k · k Klötze.
Hinweis zu Aufgabe c)
Welche Kubikzahl liegt knapp über 180?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

216 : 2 = 108, : 2 = 54, : 2 = 27, : 3 = 9, : 3 = 3, : 3 = 1 → 216 = 2³ · 3³.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

2³ · 3³ = (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) = 6 · 6 · 6. Der Würfel hat 6 Klötze Kantenlänge.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

180 = 2² · 3² · 5 ist keine Kubikzahl. 5³ = 125 < 180 < 216 = 6³, also fehlen 216 − 180 = 36 Klötze.

2

Der geheime Zahlenschlüssel

AFB II–III

Bei einem Geheimcode wird eine Zahl als Produkt von Primzahlen verschickt. Mia schickt 2 · 3² · 7, Tom schickt 3 · 42.

  1. Berechne beide Zahlen.
  2. Beurteile, ob Tom sich an die Regel des Codes gehalten hat.
  3. Begründe, warum der Code nur funktioniert, weil die Primfaktorzerlegung eindeutig ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Einfach ausmultiplizieren.
Hinweis zu Aufgabe b)
Ist 42 eine Primzahl?
Hinweis zu Aufgabe c)
Was wäre, wenn 126 zwei verschiedene Zerlegungen hätte?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Mia: 2 · 9 · 7 = 126. Tom: 3 · 42 = 126.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Nein: 42 = 2 · 3 · 7 ist keine Primzahl. Toms Nachricht ist keine Primfaktorzerlegung, auch wenn die Zahl stimmt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Jede Zahl größer als 1 hat genau eine Primfaktorzerlegung (bis auf die Reihenfolge). Deshalb gehört zu jeder Nachricht genau eine Zahl und umgekehrt — beim Entschlüsseln gibt es keine Verwechslung. Mit beliebigen Faktoren (3 · 42, 6 · 21, …) gäbe es viele Schreibweisen für dieselbe Zahl.