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Zerlegen bis nur noch Primzahlen übrig sind
Jede Zahl größer als 1 lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben.
- Faktorbaum:Zahl in zwei Faktoren zerlegen, weiter zerlegen, bis jeder Ast bei einer Primzahl endet.
- Beispiel:\(60=2\cdot30=2\cdot2\cdot15=2\cdot2\cdot3\cdot5\).
- Potenzen:gleiche Faktoren zusammenfassen: \(60=2^2\cdot3\cdot5\).
- Eindeutig:jeder Weg führt zu denselben Primfaktoren — nur die Reihenfolge ändert sich.
- Ordnen:Primfaktoren der Größe nach aufschreiben.
Wähle eine Startzahl. Spalte am markierten Ast einen Primfaktor ab — der Baum wächst, bis jeder Ast grün endet. Andere Äste wählst du durch Antippen.
Halte fest: Egal in welcher Reihenfolge du abspaltest: Am Ende stehen dieselben Primfaktoren da.
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Was die Zerlegung verrät
Aus den Primfaktoren liest man alle Teiler einer Zahl ab.
- Teiler bauen:jedes Produkt aus einem Teil der Primfaktoren ist ein Teiler: \(2\cdot3=6\mid60\), \(2\cdot2\cdot5=20\mid60\).
- Kein Teiler:\(7\nmid60\) — die \(7\) kommt nicht vor; \(8=2^3\nmid60\) — nur zwei Zweien vorhanden.
- Divisionskette:immer durch die kleinste passende Primzahl teilen: \(60:2=30,\ 30:2=15,\ 15:3=5\).
- Primzahl:ist ihre eigene Zerlegung: \(97=97\).
Merke
Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl \(n>1\) ist eine Primzahl oder ein Produkt aus Primzahlen — bis auf die Reihenfolge eindeutig.
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Allgemeine Hinweise
Nicht zu früh aufhören
\(60=4\cdot15\) ist noch keine Primfaktorzerlegung — \(4\) und \(15\) sind keine Primzahlen.
Die 1 gehört nicht dazu
\(1\) ist keine Primzahl und wird nicht als Faktor notiert.
Probe durch Ausmultiplizieren
\(2^2\cdot3\cdot5=4\cdot15=60\) ✓ — so fällt ein vergessener Faktor sofort auf.