Vielfache, die beide treffen
Zwei Zahlen haben unendlich viele gemeinsame Vielfache — das kleinste heißt kgV.
- Vielfachenmengen:\(V_4=\{4;8;12;16;20;24;\ldots\}\), \(V_6=\{6;12;18;24;\ldots\}\).
- Gemeinsam:\(12,\ 24,\ 36,\ \ldots\) — lauter Vielfache von \(12\).
- kgV:das kleinste gemeinsame Vielfache: \(\text{kgV}(4;6)=12\).
- Schnell finden:Vielfache der größeren Zahl durchgehen, bis eines durch die kleinere teilbar ist: \(6,\ 12\) ✓.
Zwei Räder rollen nebeneinander los. Jedes Mal, wenn die rote Marke den Boden berührt, bleibt ein Abdruck. Wo liegen zum ersten Mal zwei Abdrücke genau untereinander?
Halte fest: Die Abdrücke eines Rades liegen bei den Vielfachen seines Umfangs — der erste gemeinsame Abdruck liegt beim kgV.
Sonderfälle und der Hauptnenner
Manchmal kann man das kgV sofort angeben.
- Teilerfremd:\(\text{kgV}(4;9)=4\cdot9=36\), weil \(\text{ggT}(4;9)=1\).
- Ein Teiler:teilt \(a\) die Zahl \(b\), ist \(\text{kgV}(a;b)=b\): \(\text{kgV}(5;20)=20\).
- Nicht immer das Produkt:\(4\cdot6=24\) ist ein gemeinsames Vielfaches, aber nicht das kleinste.
- Hauptnenner:\(\tfrac14\) und \(\tfrac16\) auf den Nenner \(\text{kgV}(4;6)=12\) bringen: \(\tfrac3{12}\) und \(\tfrac2{12}\).
Kleinstes gemeinsames Vielfaches: \(\text{kgV}(a;b)\) ist die kleinste Zahl größer als \(0\), die Vielfaches von \(a\) und von \(b\) ist.
Allgemeine Hinweise
Produkt ist nicht immer kgV
\(6\cdot8=48\), aber \(\text{kgV}(6;8)=24\). Das Produkt passt nur bei teilerfremden Zahlen.
Die 0 zählt nicht
\(0\) ist zwar Vielfaches jeder Zahl, beim kgV sucht man aber die kleinste Zahl größer als \(0\).
Mit der größeren Zahl zählen
Für \(\text{kgV}(8;12)\): \(12\) ✗, \(24\) ✓ — viel schneller als beide Listen aufzuschreiben.