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Teiler, die beide gemeinsam haben
Zwei Zahlen haben oft mehrere Teiler gemeinsam — der größte davon heißt ggT.
- Teilermengen:\(T_{12}=\{1;2;3;4;6;12\}\), \(T_{18}=\{1;2;3;6;9;18\}\).
- Gemeinsam:\(1,\ 2,\ 3,\ 6\) stehen in beiden Mengen.
- ggT:der größte gemeinsame Teiler: \(\text{ggT}(12;18)=6\).
- Teilerfremd:nur \(1\) gemeinsam: \(\text{ggT}(15;28)=1\).
- Sonderfall:teilt \(a\) die Zahl \(b\), ist \(\text{ggT}(a;b)=a\): \(\text{ggT}(9;27)=9\).
Wähle ein Zahlenpaar und lege die beiden Teilermengen übereinander. Was deckungsgleich liegt, ist ein gemeinsamer Teiler.
Halte fest: Der ggT ist der größte Teiler, der in beiden Teilermengen vorkommt.
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Der ggT beim Kürzen
Mit dem ggT kürzt man einen Bruch in einem einzigen Schritt vollständig.
- Vollständig kürzen:Zähler und Nenner durch den ggT teilen: \(\tfrac{12}{18}=\tfrac{12:6}{18:6}=\tfrac23\).
- Kleinerer Teiler:mit \(2\) gekürzt bleibt \(\tfrac69\) — man muss noch einmal kürzen.
- Probe:nach dem Kürzen sind Zähler und Nenner teilerfremd: \(\text{ggT}(2;3)=1\).
- Größe:der ggT ist nie größer als die kleinere der beiden Zahlen.
Merke
Größter gemeinsamer Teiler: \(\text{ggT}(a;b)\) ist die größte Zahl, die sowohl \(a\) als auch \(b\) teilt.
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Allgemeine Hinweise
Nicht die kleinste
Gemeinsam ist immer die \(1\) — gesucht ist der größte gemeinsame Teiler.
ggT ≠ kgV
Der ggT ist höchstens so groß wie die kleinere Zahl, das kgV mindestens so groß wie die größere.
Von oben suchen
Teiler der kleineren Zahl von groß nach klein testen: \(12, 6, \ldots\) — der erste, der auch \(18\) teilt, ist der ggT.