MINT lernen

ggT und kgV mit Primfaktoren

Zwei Aufgaben mit großen Zahlen, bei denen Listen zu lang werden.

1

Die Planetenuhr

AFB I–II

In einem Museum drehen sich zwei Modellplaneten um eine Lampe. Der innere braucht für eine Runde 84 Sekunden, der äußere 126 Sekunden. Beim Öffnen des Museums stehen beide auf einer Linie mit der Lampe.

  1. Zerlege 84 und 126 in Primfaktoren.
  2. Bestimme, nach wie vielen Sekunden beide wieder gemeinsam auf der Startlinie stehen.
  3. Berechne, wie viele Runden jeder Planet bis dahin gedreht hat, und bestätige das Ergebnis mit ggT · kgV = a · b.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Divisionskette mit 2, 3, 7.
Hinweis zu Aufgabe b)
Wieder gleichzeitig → kgV.
Hinweis zu Aufgabe c)
kgV : 84 und kgV : 126; ggT aus den Primfaktoren.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

84 = 2² · 3 · 7, 126 = 2 · 3² · 7.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

kgV = 2² · 3² · 7 = 252 s = 4 min 12 s.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Innen 252 : 84 = 3 Runden, außen 252 : 126 = 2 Runden. ggT = 2 · 3 · 7 = 42; 42 · 252 = 10 584 = 84 · 126 ✓.

2

Fliesen für das Schwimmbad

AFB II–III

Der Boden eines Umkleideraums ist 432 cm lang und 324 cm breit. Er soll mit möglichst großen quadratischen Fliesen ohne Zuschnitt ausgelegt werden.

  1. Bestimme die Kantenlänge der Fliesen mithilfe der Primfaktorzerlegung.
  2. Berechne die Anzahl der Fliesen.
  3. Diskutiere, ob die mathematisch größte Fliese auch praktisch sinnvoll ist, und lege eine kleinere, passende Fliesengröße zwischen 20 cm und 40 cm fest.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
432 = 2⁴ · 3³ und 324 = 2² · 3⁴.
Hinweis zu Aufgabe b)
Wie oft passt 108 in Länge und Breite?
Hinweis zu Aufgabe c)
Welche Teiler von 108 liegen zwischen 20 und 40?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

ggT = 2² · 3³ = 108 cm. Die Fliesen haben 108 cm Kantenlänge.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

432 : 108 = 4 und 324 : 108 = 3, also 4 · 3 = 12 Fliesen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Fliesen mit über 1 m Kante sind schwer, zerbrechlich und teuer. Jeder Teiler von 108 passt ohne Zuschnitt; zwischen 20 und 40 liegen 27 und 36. Z. B. 36 cm: 12 · 9 = 108 Fliesen.