Der ggT aus den Primfaktoren
Bei großen Zahlen sind Teilermengen mühsam — die Primfaktorzerlegung geht schneller.
- Zerlegen:\(24=2\cdot2\cdot2\cdot3\), \(90=2\cdot3\cdot3\cdot5\).
- Untereinander:gleiche Primfaktoren in dieselbe Spalte schreiben.
- Gemeinsam:in jeder Spalte die Faktoren nehmen, die in beiden Zeilen stehen: eine \(2\), eine \(3\).
- ggT:\(\text{ggT}(24;90)=2\cdot3=6\).
- Fehlt ein Faktor:kommt eine Primzahl nur in einer Zeile vor (hier \(5\)), gehört sie nicht zum ggT.
Das kgV aus den Primfaktoren
Für das kgV braucht man jeden Primfaktor so oft, wie er höchstens vorkommt.
- Größte Anzahl:in jeder Spalte die längere Zeile nehmen: drei Zweien, zwei Dreien, eine Fünf.
- kgV:\(\text{kgV}(24;90)=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5=360\).
- Potenzen:kürzer: \(24=2^3\cdot3\), \(90=2\cdot3^2\cdot5\), \(\text{kgV}=2^3\cdot3^2\cdot5\).
- Kontrolle:\(\text{ggT}\cdot\text{kgV}=a\cdot b\): \(6\cdot360=2160=24\cdot90\) ✓.
ggT und kgV mit Primfaktoren: ggT: nur die gemeinsamen Primfaktoren, jeweils so oft wie in beiden Zahlen · kgV: alle Primfaktoren, jeweils so oft wie höchstens
Schau dir die beiden Primfaktorzerlegungen an und tippe ggT und kgV. „Prüfen“ zeigt Spalte für Spalte, welche Faktoren genommen werden.
Halte fest: Für den ggT zählt in jeder Spalte die kürzere Reihe, für das kgV die längere.
Allgemeine Hinweise
Nicht vertauschen
ggT: kleinste gemeinsame Anzahl. kgV: größte Anzahl. Wer es verwechselt, bekommt einen viel zu großen ggT.
Alle Faktoren fürs kgV
Auch Primzahlen, die nur in einer Zahl vorkommen, gehören ins kgV: die \(5\) aus \(90\).
Plausibel?
Der ggT teilt beide Zahlen, das kgV ist durch beide teilbar: \(360:24=15\) ✓, \(360:90=4\) ✓.