Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: rückwärts arbeiten, Strukturen erkennen und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst. Schreib deine Antwort zuerst ins Heft — in ganzen Sätzen, so wie in der Klassenarbeit.
Mia behauptet: „Von zwei Rechtecken hat immer das mit dem größeren Umfang auch den größeren Flächeninhalt.“ Widerlege Mias Behauptung.
Hinweis: Ein einziges passendes Beispiel reicht. Denke an ein sehr langes, schmales Rechteck.
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Musterlösung: Das Rechteck mit 10 cm und 1 cm hat den Umfang \(2\cdot 10 + 2\cdot 1 = 22\) cm und den Flächeninhalt 10 cm². Das Quadrat mit 5 cm Seitenlänge hat nur den Umfang 20 cm, aber den Flächeninhalt 25 cm². Das Rechteck mit dem größeren Umfang hat also die kleinere Fläche. Damit ist Mias Behauptung widerlegt. Umfang und Flächeninhalt sind verschiedene Größen, die man nicht aus einander ablesen kann.
Beurteile die Aussage: „Ein Dreieck kann zwei rechte Winkel haben.“
Hinweis: Was bleibt für den dritten Winkel übrig? Stelle dir die Zeichnung vor.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Im Dreieck gilt \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\). Wären zwei Winkel je 90°, dann wären das schon 180°, und für den dritten Winkel bliebe 0° — das ist kein Winkel eines Dreiecks. Man sieht es auch an der Zeichnung: Zwei Seiten, die beide senkrecht auf der Grundseite stehen, sind parallel und schneiden sich nie; die dritte Ecke entsteht gar nicht. Ein Dreieck hat also höchstens einen rechten (oder stumpfen) Winkel.
Begründe, dass die Innenwinkel in jedem Viereck zusammen 360° ergeben. Übertrage deine Idee anschließend auf ein Fünfeck.
Hinweis: Du kennst schon die Winkelsumme im Dreieck. Wie wird aus einem Viereck ein Dreieck?
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Musterlösung: Die Diagonale AC zerlegt das Viereck ABCD in die Dreiecke ABC und ACD. In jedem Dreieck ist die Winkelsumme 180°. Die Winkel der beiden Dreiecke setzen sich genau zu den vier Innenwinkeln des Vierecks zusammen (bei A und C werden zwei Teilwinkel addiert). Also ist die Winkelsumme im Viereck \(2\cdot 180^\circ = 360^\circ\) — bei jedem Viereck, denn die Zerlegung klappt immer. Beim Fünfeck zerlegen zwei Diagonalen von einer Ecke aus die Figur in drei Dreiecke: \(3\cdot 180^\circ = 540^\circ\).
Erkläre, warum die Mittelpunktswinkel eines Kreisdiagramms zusammen immer 360° ergeben. Erkläre außerdem, warum ein Sektor für mehr als die Hälfte aller Befragten immer ein überstumpfer Winkel ist.
Hinweis: Denke daran, wofür der ganze Kreis steht und wie der Winkel aus dem Anteil entsteht.
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Musterlösung: Der ganze Kreis steht für alle Befragten. Jede Gruppe bekommt den Winkel „Anteil · 360°“. Da alle Anteile zusammen das Ganze ergeben, also 1, ist die Summe aller Winkel \(1\cdot 360^\circ = 360^\circ\). Ist eine Gruppe größer als die Hälfte, dann ist ihr Anteil größer als \(\tfrac12\) und ihr Winkel größer als \(\tfrac12\cdot 360^\circ = 180^\circ\). Winkel zwischen 180° und 360° heißen überstumpf.
Tim sagt: „Ein Quadrat ist kein Rechteck, weil beim Quadrat alle Seiten gleich lang sind.“ Nimm Stellung zu Tims Aussage.
Hinweis: Was muss eine Figur erfüllen, um ein Rechteck zu sein? Verbietet diese Bedingung gleich lange Seiten?
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Musterlösung: Tim hat nicht recht. Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Das Quadrat hat vier rechte Winkel, erfüllt also alles, was ein Rechteck braucht. Dass beim Quadrat zusätzlich alle Seiten gleich lang sind, ist eine weitere Eigenschaft — sie macht das Quadrat zu einem besonderen Rechteck, nicht zu etwas anderem. Tim verwechselt „hat noch eine Eigenschaft mehr“ mit „ist etwas anderes“. Umgekehrt ist aber nicht jedes Rechteck ein Quadrat, weil die Seiten nicht gleich lang sein müssen.
Drei Häuser A, B und C wollen einen gemeinsamen Platz für ihre Mülltonnen, der von allen drei Häusern gleich weit entfernt ist. Entwickle einen Konstruktionsweg mit Zirkel und Lineal und begründe, warum er funktioniert.
Hinweis: Welche Linie enthält alle Punkte, die von zwei Punkten gleich weit entfernt sind?
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Musterlösung: Ich konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke \(\overline{AB}\): Kreise mit gleichem Radius um A und B, die Schnittpunkte verbinden. Jeder Punkt auf ihr ist von A und B gleich weit entfernt. Genauso konstruiere ich die Mittelsenkrechte von \(\overline{BC}\); ihre Punkte sind von B und C gleich weit entfernt. Der Schnittpunkt M liegt auf beiden Linien, ist also von A und B und von B und C — und damit von allen drei Häusern — gleich weit entfernt. Dort ist der Mülltonnenplatz. Zur Kontrolle geht der Kreis um M durch A auch durch B und C.
Aus den Strecken 3 cm, 4 cm und 8 cm lässt sich kein Dreieck zeichnen. Formuliere eine allgemeine Regel, wann drei Strecken ein Dreieck ergeben, und begründe sie mit dem Zirkel-Bild.
Hinweis: Zeichne die 8-cm-Strecke und schlage mit dem Zirkel die beiden anderen Längen um ihre Endpunkte.
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Musterlösung: Ich zeichne \(\overline{AB} = 8\) cm, einen Kreis um A mit 3 cm und einen Kreis um B mit 4 cm. Die Kreise reichen von beiden Seiten zusammen nur \(3 + 4 = 7\) cm weit, in der Mitte bleibt 1 cm Lücke — sie schneiden sich nicht, es gibt keine dritte Ecke C. Allgemein: Drei Strecken ergeben genau dann ein Dreieck, wenn je zwei zusammen länger sind als die dritte (Dreiecksungleichung). Es reicht zu prüfen, ob die beiden kürzeren zusammen länger sind als die längste.
Lena behauptet: (1) „Jede punktsymmetrische Figur ist auch drehsymmetrisch.“ (2) „Jede drehsymmetrische Figur ist auch punktsymmetrisch.“ Bewerte beide Aussagen.
Hinweis: Was bedeutet Punktsymmetrie als Drehung? Und welcher Drehwinkel gehört zum gleichseitigen Dreieck?
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Musterlösung: Aussage (1) ist richtig: Eine punktsymmetrische Figur geht bei einer Drehung um 180° um das Zentrum in sich über; sie ist also drehsymmetrisch mit dem Drehwinkel 180°. Aussage (2) ist falsch: Ein gleichseitiges Dreieck ist drehsymmetrisch mit dem Drehwinkel \(360^\circ : 3 = 120^\circ\). Dreht man es um 180°, zeigt die Spitze nach unten — es passt nicht auf sich selbst, ist also nicht punktsymmetrisch. Lena hat also nur mit der ersten Aussage recht.
Eine Figur wird erst an der Geraden g und danach an der dazu parallelen Geraden h gespiegelt. Die Geraden sind 3 cm voneinander entfernt. Überprüfe an einem Punkt die Behauptung: „Das Ergebnis ist eine Verschiebung.“ Gib auch Richtung und Länge an.
Hinweis: Wähle einen Punkt P, der 1 cm links von g liegt, und verfolge ihn Schritt für Schritt.
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Musterlösung: P liegt 1 cm links von g (bei −1). Die Spiegelung an g bringt P nach +1, die Spiegelung an h (bei 3, also 2 cm weiter) bringt ihn nach 5. P ist also um 6 cm senkrecht zu den Geraden gewandert. Ein zweiter Punkt bei 2 landet erst bei −2 und dann bei 8 — ebenfalls 6 cm weiter. Alle Punkte werden gleich weit in dieselbe Richtung bewegt: Das ist eine Verschiebung um 6 cm (doppelter Achsenabstand) senkrecht zu g und h, von g nach h. Außerdem stimmt der Umlaufsinn wieder, weil zweimal gespiegelt wurde. Die Behauptung ist richtig.
Ben misst an zwei Geraden g und h, die von s geschnitten werden, die Stufenwinkel 72° und 70°. Er sagt: „Das ist fast gleich, also sind g und h parallel.“ Entscheide begründet, ob Ben recht hat.
Hinweis: Was gilt für Stufenwinkel an Parallelen? Und was würde mit g und h passieren, wenn man sie weit verlängert?
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Musterlösung: Ben hat nicht recht. Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn die Stufenwinkel an einer Schnittgeraden gleich groß sind. 72° und 70° sind nicht gleich, also sind g und h nicht parallel: Sie laufen langsam aufeinander zu und schneiden sich irgendwo weit entfernt. Allerdings misst man mit dem Geodreieck nur auf etwa 1° genau. Ben sollte daher noch einmal sorgfältig messen. Bleibt ein Unterschied, sind die Geraden nicht parallel.