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Übung — AFB II (Zusammenhänge herstellen)

Teppich, Flugdrache, Riesenrad: Hier steckt die Geometrie im Alltag — du musst sie erst entdecken, bevor du rechnen kannst.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus allen Kapiteln des Themas: erst die Situation übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst. Die Aufgaben sind bunt gemischt, damit du jedes Mal neu erkennen musst, welches Werkzeug passt.

A1
Leas neues Kinderzimmer
AFB II

Leas Kinderzimmer ist rechteckig, 4 m lang und 3 m breit. Es bekommt einen neuen Teppichboden und eine neue Fußleiste am Rand. In der 1 m breiten Tür kommt keine Fußleiste hin.

a) Berechne, wie viel Quadratmeter Teppichboden gebraucht werden. b) Wie viele Meter Fußleiste braucht Lea?

m²
m
Ansatz: Der Teppich bedeckt die Fläche (\(A = a\cdot b\)), die Fußleiste läuft am Rand entlang (Umfang \(U = 2a + 2b\)) — ohne die Tür.
Rechenweg: a) \(4\text{ m}\cdot 3\text{ m}\). b) \(U = 2\cdot 4\text{ m} + 2\cdot 3\text{ m} = 14\text{ m}\), davon 1 m abziehen.
Lösung: a) 12 m² b) 13 m
Vollständige Lösung
a) \(A = 4\text{ m}\cdot 3\text{ m} = 12\text{ m}^2\). b) \(U = 8\text{ m} + 6\text{ m} = 14\text{ m}\); ohne Tür: \(14\text{ m} - 1\text{ m} = 13\text{ m}\). Lea braucht 12 m² Teppich und 13 m Fußleiste. Hinweis: Fläche und Umfang nicht verwechseln: Fläche in m², Randlänge in m.
4 m3 mTür 1 m
Grundriss (von oben gesehen)
A2
Der L-förmige Garten
AFB II

Familie Özdemir hat einen L-förmigen Garten (siehe Skizze). Alle Ecken sind rechte Winkel. Außen misst er 10 m und 8 m, rechts oben fehlt ein Rechteck von 4 m mal 3 m.

a) Ermittle den Flächeninhalt des Gartens. b) Wie lang muss ein Zaun rund um den ganzen Garten sein?

m²
m
Ansatz: a) Ergänze zum großen Rechteck und ziehe das fehlende Rechteck ab. b) Bestimme zuerst die zwei fehlenden Seitenlängen (oben und rechts) und addiere dann alle sechs Seiten.
Rechenweg: a) \(10\cdot 8 = 80\) und \(4\cdot 3 = 12\). b) Oben: \(10 - 4 = 6\) m, rechts: \(8 - 3 = 5\) m.
Lösung: a) 68 m² b) 36 m
Vollständige Lösung
a) \(A = 10\text{ m}\cdot 8\text{ m} - 4\text{ m}\cdot 3\text{ m} = 80\text{ m}^2 - 12\text{ m}^2 = 68\text{ m}^2\). b) \(U = 10 + 8 + 6 + 3 + 4 + 5 = 36\) m. Der Zaun ist 36 m lang. Hinweis: Der Umfang ist genauso groß wie beim ganzen 10 m × 8 m-Rechteck (\(2\cdot 10 + 2\cdot 8 = 36\)), weil die fehlende Ecke nur „nach innen geklappt“ ist — die Fläche aber wird kleiner.
10 m8 m4 m3 m
Alle Ecken sind rechtwinklig
A3
Fliesen hinter dem Waschbecken
AFB II

Hinter einem Waschbecken soll ein rechteckiges Stück Wand, 2 m breit und 1 m hoch, mit quadratischen Fliesen beklebt werden. Jede Fliese hat die Seitenlänge 10 cm.

a) Bestimme die Wandfläche in cm². b) Wie viele Fliesen werden gebraucht?

cm²
Fliesen
Ansatz: Rechne zuerst die Seiten in cm um, dann die Fläche. Eine Fliese hat \(10\text{ cm}\cdot 10\text{ cm}\).
Rechenweg: a) \(2\text{ m} = 200\text{ cm}\), \(1\text{ m} = 100\text{ cm}\): \(200\cdot 100\). b) Eine Fliese: \(100\text{ cm}^2\); \(20\,000 : 100\).
Lösung: a) 20 000 cm² b) 200 Fliesen
Vollständige Lösung
a) \(A = 200\text{ cm}\cdot 100\text{ cm} = 20\,000\text{ cm}^2\). b) \(20\,000\text{ cm}^2 : 100\text{ cm}^2 = 200\). Kontrolle: 20 Fliesen passen nebeneinander, 10 übereinander, \(20\cdot 10 = 200\). Hinweis: \(2\text{ m}^2\) sind nicht 200 cm²: Von m² zu cm² rechnet man zweimal mit 100, also mal 10 000.
A4
Umfrage: Lieblingssport
AFB II

In der Klasse 6b wurden alle 24 Kinder nach ihrem Lieblingssport gefragt: Fußball 8, Schwimmen 6, Reiten 4, Turnen 6.

Erstelle ein Kreisdiagramm. Berechne dazu zuerst die Mittelpunktswinkel. a) Winkel für Fußball b) Winkel für Reiten

°
°
Ansatz: Der ganze Kreis (360°) steht für alle 24 Kinder. Berechne, wie viel Grad ein Kind bekommt.
Rechenweg: \(360^\circ : 24 = 15^\circ\) pro Kind. a) \(8\cdot 15^\circ\) b) \(4\cdot 15^\circ\).
Lösung: a) 120° b) 60°
Vollständige Lösung
Ein Kind entspricht \(360^\circ : 24 = 15^\circ\). a) Fußball: \(8\cdot 15^\circ = 120^\circ\). b) Reiten: \(4\cdot 15^\circ = 60^\circ\). Schwimmen und Turnen bekommen je \(6\cdot 15^\circ = 90^\circ\). Probe: \(120^\circ + 90^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 360^\circ\). Hinweis: Mit dem Anteil geht es genauso: \(\tfrac{8}{24} = \tfrac13\), und \(\tfrac13\cdot 360^\circ = 120^\circ\). Die Probe „Summe = 360°“ gehört immer dazu.
A5
Kreisdiagramm Schulweg
AFB II

36 Kinder wurden gefragt, wie sie zur Schule kommen. Das Kreisdiagramm zeigt das Ergebnis mit seinen Mittelpunktswinkeln.

Werte das Diagramm aus: a) Wie viele Kinder fahren mit dem Bus? b) Wie viele Kinder fahren mit dem Fahrrad?

Kinder
Kinder
Ansatz: Rückwärts rechnen: Wie viel Grad steht für ein Kind? Dann den Winkel durch diesen Wert teilen.
Rechenweg: \(360^\circ : 36 = 10^\circ\) pro Kind. a) \(90^\circ : 10^\circ\) b) \(150^\circ : 10^\circ\).
Lösung: a) 9 Kinder b) 15 Kinder
Vollständige Lösung
Ein Kind entspricht \(360^\circ : 36 = 10^\circ\). a) Bus: \(90 : 10 = 9\) Kinder. b) Fahrrad: \(150 : 10 = 15\) Kinder. (Zu Fuß: 8, Auto: 4; zusammen \(9 + 15 + 8 + 4 = 36\).) Hinweis: 90° ist ein Viertel des Kreises — also ein Viertel von 36 Kindern. So lässt sich das Ergebnis schnell überschlagen.
90°150°80°40°BusFahrradzu FußAuto
Mittelpunktswinkel der vier Gruppen
A6
Straße über zwei Gleise
AFB II

Zwei parallele Bahngleise g und h werden von einer geraden Straße s schräg gekreuzt. Am oberen Gleis misst man \(\alpha = 70^\circ\) (siehe Skizze).

Leite die Winkel her: a) Wie groß ist \(\beta\)? b) Wie groß ist \(\varepsilon\) am unteren Gleis?

°
°
Ansatz: a) \(\alpha\) und \(\beta\) sind Nebenwinkel. b) Suche am unteren Gleis den Stufenwinkel zu \(\alpha\) — und dann dessen Scheitelwinkel.
Rechenweg: a) \(180^\circ - 70^\circ\). b) Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß: rechts oben am unteren Gleis ebenfalls 70°; \(\varepsilon\) liegt ihm gegenüber (Scheitelwinkel).
Lösung: a) 110° b) 70°
Vollständige Lösung
a) \(\beta = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\) (Nebenwinkel). b) Weil g und h parallel sind, ist der Stufenwinkel von \(\alpha\) am unteren Gleis auch 70°. \(\varepsilon\) ist sein Scheitelwinkel, also \(\varepsilon = 70^\circ\). (Kürzer: \(\varepsilon\) und \(\alpha\) sind Wechselwinkel.) Hinweis: Stufen- und Wechselwinkel sind nur dann gleich groß, wenn die beiden Geraden parallel sind.
α = 70°βεghs
g und h sind parallel
A7
Der Dachgiebel
AFB II

Der Giebel eines Hauses ist ein gleichschenkliges Dreieck. Der Winkel an der Dachspitze beträgt 110°. Die Grundseite wird nach rechts verlängert (gestrichelt).

a) Stelle eine Gleichung für den Basiswinkel \(\alpha\) auf und löse sie. b) Wie groß ist der Außenwinkel \(\varepsilon\)?

°
°
Ansatz: Im gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß: \(110^\circ + \alpha + \alpha = 180^\circ\). \(\varepsilon\) ist Nebenwinkel des rechten Basiswinkels.
Rechenweg: a) \(2\alpha = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\). b) \(\varepsilon = 180^\circ - \alpha\).
Lösung: a) 35° b) 145°
Vollständige Lösung
a) \(110^\circ + 2\alpha = 180^\circ \Rightarrow 2\alpha = 70^\circ \Rightarrow \alpha = 35^\circ\). b) \(\varepsilon = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ\). Probe: \(\varepsilon = 110^\circ + 35^\circ\) — der Außenwinkel ist so groß wie die beiden anderen Innenwinkel zusammen. Hinweis: Nicht 70° als Basiswinkel nehmen: Die 70° verteilen sich auf zwei gleich große Winkel.
110°α = ?ε = ?
Gleichschenkliger Giebel
A8
Der Flugdrache
AFB II

Ein Flugdrache hat die Form eines Drachenvierecks. Der Winkel oben beträgt 120°, der Winkel unten 70°. Die beiden seitlichen Winkel sind gleich groß.

a) Wie groß sind die beiden seitlichen Winkel zusammen? b) Löse die Gleichung \(120^\circ + 70^\circ + 2x = 360^\circ\): Wie groß ist ein seitlicher Winkel?

°
°
Ansatz: Winkelsumme im Viereck: 360°. Ziehe die bekannten Winkel ab und teile den Rest gerecht auf.
Rechenweg: a) \(360^\circ - 120^\circ - 70^\circ\). b) \(170^\circ : 2\).
Lösung: a) 170° b) 85°
Vollständige Lösung
a) \(360^\circ - 190^\circ = 170^\circ\). b) \(2x = 170^\circ \Rightarrow x = 85^\circ\). Die seitlichen Winkel sind gleich groß, weil der Drachen an der senkrechten Diagonale achsensymmetrisch ist. Hinweis: Beim Drachen sind die Winkel an den Enden der Symmetrieachse (oben, unten) meist verschieden — gleich sind die beiden anderen.
120°70°??
Die Symmetrieachse ist gestrichelt
A9
Ein Rahmen aus Holzleisten
AFB II

Tim baut aus drei Holzleisten einen dreieckigen Rahmen. Zwei Leisten sind 5 dm und 7 dm lang. Die dritte Leiste soll eine ganze Zahl von Dezimetern lang sein.

Untersuche, welche Längen möglich sind: a) Wie lang darf die dritte Leiste höchstens sein? b) Wie lang muss sie mindestens sein?

dm
dm
Ansatz: Dreiecksungleichung: Je zwei Seiten zusammen müssen länger sein als die dritte.
Rechenweg: a) \(x < 5 + 7 = 12\). b) \(5 + x > 7\), also \(x > 2\).
Lösung: a) 11 dm b) 3 dm
Vollständige Lösung
a) Die dritte Leiste muss kürzer als \(5\text{ dm} + 7\text{ dm} = 12\text{ dm}\) sein — höchstens 11 dm. b) Die beiden kürzeren Seiten müssen zusammen länger als die längste sein: \(5 + x > 7\), also \(x > 2\) — mindestens 3 dm. Möglich sind 3, 4, …, 11 dm. Hinweis: Bei genau 12 dm oder 2 dm würden die Leisten flach aufeinanderliegen — es entstünde kein Dreieck.
5 dm7 dm? dm
Die dritte Leiste ist gesucht
A10
Das Riesenrad
AFB II

Ein Riesenrad hat 12 Gondeln, die gleichmäßig verteilt sind. Die rote Gondel ist gerade ganz oben.

a) Um welchen Winkel muss sich das Rad mindestens drehen, damit es wieder genauso aussieht? b) Interpretiere eine Drehung um 180° als Punktspiegelung am Mittelpunkt: Um wie viele Plätze ist die rote Gondel danach weitergewandert?

°
Ansatz: Drehwinkel = 360° : Anzahl der gleichen Teile. Für b) teilst du 180° durch den Winkel zwischen zwei Gondeln.
Rechenweg: a) \(360^\circ : 12\). b) \(180^\circ : 30^\circ\).
Lösung: a) 30° b) 6 Plätze
Vollständige Lösung
a) Zwischen zwei Nachbargondeln liegen \(360^\circ : 12 = 30^\circ\); das ist der kleinste Drehwinkel. b) \(180^\circ : 30^\circ = 6\): Die rote Gondel ist ganz unten — genau gegenüber, wie bei einer Punktspiegelung am Mittelpunkt. Hinweis: Eine Drehung um 180° ist dasselbe wie eine Punktspiegelung. Das Riesenrad ist deshalb auch punktsymmetrisch.
12 gleichmäßig verteilte Gondeln