MINT lernen

Zusammenfassung

Alles Wichtige zu Brüchen und Dezimalbrüchen auf einen Blick — die Regeln, die in der Arbeit zählen.

1

Brüche und Dezimalbrüche verstehen

Ein Anteil lässt sich als Bruch oder als Dezimalbruch schreiben — erweitern und kürzen ändern nur die Schreibweise, nicht den Wert.

1.1.1 Anteile und Bruchteile

Ein Ganzes in n gleich große Teile teilen, z davon nehmen. Oben der Zähler, unten der Nenner.

\(\tfrac34\) von 20 € = 20 € : 4 · 3 = 15 €

1.1.2 Erweitern, kürzen, ordnen

Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen oder durch sie teilen — der Anteil bleibt gleich.

\(\tfrac34=\tfrac{9}{12}\) · \(\tfrac{18}{24}=\tfrac34\)

1.1.3 Dezimalbrüche darstellen

Nach dem Komma folgen Zehntel, Hundertstel, Tausendstel.

0,375 = 3 z + 7 h + 5 t = \(\tfrac{375}{1000}\)

1.1.4 Dezimalbrüche ordnen

Stelle für Stelle von links vergleichen; Endnullen ändern nichts.

0,45 < 0,5 = 0,50

1.1.5 Abbrechend und periodisch

Zähler : Nenner rechnen. Kehrt ein Rest wieder, wiederholen sich die Ziffern.

\(\tfrac38=0{,}375\) · \(\tfrac56=0{,}8\overline{3}\)
Bruchteil einer Größe
Bruchteil = Ganzes : Nenner · Zähler
Umgekehrt: Ganzes = Bruchteil : Zähler · Nenner. Beispiel: \(\tfrac25\) sind 8 kg → \(\tfrac15\) sind 4 kg → das Ganze sind 20 kg.

Abbrechend oder periodisch?

Ein vollständig gekürzter Bruch ergibt genau dann einen abbrechenden Dezimalbruch, wenn sein Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 hat. \(\tfrac{7}{20}\) bricht ab, \(\tfrac{1}{3}=0{,}\overline{3}\) nicht.

2

Rechnen mit Brüchen

Beim Addieren zählt der gemeinsame Nenner, beim Multiplizieren und Dividieren rechnet man Zähler und Nenner direkt.

1.2.1 Brüche addieren und subtrahieren

Gleichnamig machen (Hauptnenner), Zähler rechnen, Nenner behalten, am Ende kürzen.

\(\tfrac23+\tfrac14=\tfrac{8}{12}+\tfrac{3}{12}=\tfrac{11}{12}\)

1.2.2 Brüche mal und geteilt

Mal: Zähler · Zähler, Nenner · Nenner. Geteilt: mit dem Kehrwert malnehmen.

\(\tfrac23\cdot\tfrac34=\tfrac12\) · \(\tfrac34:\tfrac25=\tfrac34\cdot\tfrac52=\tfrac{15}{8}\)
Dividieren durch einen Bruch
\(\tfrac{a}{b}:\tfrac{c}{d}=\tfrac{a}{b}\cdot\tfrac{d}{c}\)
Der Kehrwert entsteht durch Vertauschen von Zähler und Nenner. Vor dem Ausrechnen kürzen spart Arbeit.

Beim Addieren bleibt der Nenner

Der Nenner sagt nur, wie groß die Teile sind. \(\tfrac15+\tfrac25=\tfrac35\) — drei Fünftel, nicht drei Zehntel. Nur beim Multiplizieren werden auch die Nenner multipliziert.

3

Rechnen mit Dezimalbrüchen

Gerechnet wird wie mit natürlichen Zahlen — entscheidend ist, wo das Komma steht.

1.3.1 Dezimalbrüche plus und minus

Komma unter Komma schreiben, fehlende Stellen mit Nullen auffüllen.

3,5 + 1,25 = 3,50 + 1,25 = 4,75

1.3.2 Mal und durch 10, 100, 1000

Mal: Komma so viele Stellen nach rechts, wie die Stufenzahl Nullen hat. Durch: nach links.

0,36 · 100 = 36 · 4,7 : 100 = 0,047

1.3.3 Dezimalbrüche mal und geteilt

Mal: ohne Komma rechnen, Nachkommastellen zählen. Geteilt: Komma bei beiden Zahlen verschieben, bis der Divisor natürlich ist.

0,3 · 0,2 = 0,06 · 6 : 0,3 = 60 : 3 = 20

1.3.4 Runden und Überschlagen

Ziffer rechts der Rundungsstelle: 0–4 abrunden, 5–9 aufrunden. Überschlag: grob runden, im Kopf rechnen.

3,996 ≈ 4,00 · 7 · 2,95 ≈ 7 · 3 = 21
Kommastellen beim Multiplizieren
Nachkommastellen des Produkts = Summe der Nachkommastellen der Faktoren
Beispiel: 1,2 · 0,03 → 12 · 3 = 36, 1 + 2 = 3 Stellen → 0,036. Endnullen darf man danach weglassen.

Geteilt kann größer machen

Teilt man durch eine Zahl kleiner als 1, wird das Ergebnis größer: 12 : 0,25 = 48. Ein Überschlag verrät, ob das Komma an der richtigen Stelle steht.

4

Die Regeln, an denen die Punkte hängen

Diese drei Stellen kosten in der Arbeit am häufigsten Punkte.

Gleichnamig nur bei Plus und Minus

Addieren und Subtrahieren: erst gleichnamig machen. Multiplizieren und Dividieren: direkt rechnen — \(\tfrac12+\tfrac13\ne\tfrac25\).

Das Komma kontrollieren

Komma unter Komma beim Addieren, Nachkommastellen zählen beim Multiplizieren, Überschlag am Ende. 0,3 · 0,2 ist 0,06 — nicht 0,6.

Ergebnis vollständig angeben

Brüche vollständig kürzen, gerundete Werte mit ≈ schreiben und Endnullen der Rundungsstelle stehen lassen (4,00), Periodenstrich nicht vergessen.