Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Regeln erklären, Fehler aufdecken, Angebote bewerten. Schreib deine Antwort erst in ganzen Sätzen auf, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe, warum \(\tfrac{2}{3}\) und \(\tfrac{8}{12}\) denselben Anteil beschreiben, obwohl die Zahlen größer werden.
Hinweis: Denke an einen Streifen, dessen Teile du zerschneidest.
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Musterlösung: Beim Erweitern mit 4 wird jedes der 3 Teile in 4 gleich große Stücke geschnitten. Aus 3 Teilen werden 12, aus den 2 gefärbten Teilen werden 8 gefärbte. Die gefärbte Fläche selbst ändert sich dabei nicht — nur die Einteilung wird feiner. Deshalb ist \(\tfrac23=\tfrac{2\cdot4}{3\cdot4}=\tfrac{8}{12}\).
Widerlege die Aussage: „Wenn man multipliziert, wird das Ergebnis immer größer.“
Hinweis: Ein einziges Gegenbeispiel reicht.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(6\cdot\tfrac12=3\), und 3 ist kleiner als 6. Ebenso ist 0,5 · 0,4 = 0,2 kleiner als beide Faktoren. Ist ein Faktor kleiner als 1, nimmt man nur einen Teil der anderen Zahl — das Ergebnis wird kleiner. Nur bei Faktoren größer als 1 wird es größer.
Tim rechnet \(\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{2}{5}\). Beurteile seine Rechnung.
Hinweis: Vergleiche das Ergebnis mit dem ersten Summanden.
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Musterlösung: Tims Ergebnis ist falsch. Er hat Zähler und Nenner einzeln addiert. Das kann nicht stimmen: \(\tfrac{2}{5}\) ist sogar kleiner als \(\tfrac{1}{2}\), obwohl noch etwas dazukommt. Richtig ist: gleichnamig machen, \(\tfrac12+\tfrac13=\tfrac36+\tfrac26=\tfrac56\). Der Nenner gibt nur die Teilgröße an und wird nicht addiert.
Erkläre am Beispiel \(3:\tfrac14\), warum man durch einen Bruch teilt, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.
Hinweis: Frage dich: Wie oft passt \(\tfrac{1}{4}\) in 3?
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Musterlösung: \(3:\tfrac14\) fragt, wie oft ein Viertel in 3 Ganze passt. In ein Ganzes passen 4 Viertel, in drei Ganze also 3 · 4 = 12 Viertel. Teilen durch \(\tfrac{1}{4}\) bedeutet deshalb dasselbe wie Malnehmen mit 4 = \(\tfrac{4}{1}\), dem Kehrwert. Allgemein: \(a:\tfrac{c}{d}=a\cdot\tfrac{d}{c}\).
Zeige, dass zwischen \(\tfrac{1}{3}\) und \(\tfrac{1}{2}\) mindestens drei weitere Brüche liegen.
Hinweis: Mache die Brüche gleichnamig und erweitere dann noch weiter.
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Musterlösung: Erweitert man auf den Nenner 36, gilt \(\tfrac13=\tfrac{12}{36}\) und \(\tfrac12=\tfrac{18}{36}\). Dazwischen liegen \(\tfrac{13}{36},\ \tfrac{14}{36},\ \tfrac{15}{36},\ \tfrac{16}{36},\ \tfrac{17}{36}\) — also sogar fünf Brüche. Weil man immer weiter erweitern kann, findet man zwischen zwei verschiedenen Brüchen stets weitere Brüche.
Entscheide ohne schriftliche Division, welche der Brüche \(\tfrac{3}{40}\), \(\tfrac{7}{12}\), \(\tfrac{9}{15}\) und \(\tfrac{5}{14}\) einen abbrechenden Dezimalbruch ergeben.
Hinweis: Kürze zuerst vollständig und sieh dir dann nur den Nenner an.
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Musterlösung: Abbrechend sind \(\tfrac{3}{40}\) (40 = 2 · 2 · 2 · 5, also 0,075) und \(\tfrac{9}{15}\). Bei \(\tfrac{9}{15}\) ist die Falle: 15 enthält die 3, aber vollständig gekürzt ist \(\tfrac{9}{15}=\tfrac35=0{,}6\). Periodisch sind \(\tfrac{7}{12}\) (Faktor 3 im Nenner) und \(\tfrac{5}{14}\) (Faktor 7).
Entwickle einen Rechenweg, mit dem man 0,125 · 64 ohne schriftliches Rechnen im Kopf lösen kann.
Hinweis: Welcher Bruch steckt hinter 0,125?
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Musterlösung: Man wandelt 0,125 in einen Bruch um: \(0{,}125=\tfrac{125}{1000}=\tfrac18\). Dann ist 0,125 · 64 dasselbe wie \(\tfrac{1}{8}\) von 64, also 64 : 8 = 8. Genauso gilt: mal 0,5 heißt halbieren, mal 0,25 heißt durch 4 teilen.
Mia soll 2,346 auf Zehntel runden. Sie rundet erst auf Hundertstel (2,35) und dann auf Zehntel (2,4). Nimm Stellung zu ihrem Vorgehen.
Hinweis: Runde 2,346 direkt und vergleiche.
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Musterlösung: Mias Vorgehen ist falsch. Man rundet immer in einem Schritt und schaut nur auf die Ziffer direkt rechts von der Rundungsstelle: Bei 2,3|46 ist das die 4, also wird abgerundet: 2,346 ≈ 2,3. Durch das doppelte Runden hat Mia die 6 „nach vorn geschoben“ und so einen Fehler gemacht.
Formuliere eine Regel, wie man beim Multiplizieren zweier Dezimalbrüche das Komma setzt, und erkläre das Ergebnis 0,25 · 0,4 = 0,1.
Hinweis: Rechne erst ohne Komma und zähle dann.
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Musterlösung: Regel: Man multipliziert zuerst ohne Komma. Das Ergebnis bekommt so viele Nachkommastellen, wie beide Faktoren zusammen haben. Bei 0,25 · 0,4 ist 25 · 4 = 100; die Faktoren haben 2 + 1 = 3 Nachkommastellen, also 0,100. Endnullen darf man weglassen: 0,100 = 0,1. Die Regel stimmt also — man sieht es nur nicht mehr, weil die Nullen wegfallen.
Angebot A: \(\tfrac{3}{4}\) kg Kirschen für 4,80 €. Angebot B: 0,6 kg Kirschen für 3,90 €. Bewerte, welches Angebot günstiger ist.
Hinweis: Vergleiche den Preis für 1 kg.
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Musterlösung: Für A: \(\tfrac{1}{4}\) kg kostet 4,80 € : 3 = 1,60 €, also 1 kg 6,40 €. Für B: 0,1 kg kostet 3,90 € : 6 = 0,65 €, also 1 kg 6,50 €. Angebot A ist um 10 ct je Kilogramm günstiger — obwohl der Gesamtpreis bei B niedriger ist. Wer nur 0,6 kg braucht, zahlt bei B trotzdem weniger.