Reicht das Geld?
AFB I–IIPaul soll für seine Familie einkaufen und hat dafür 15 € dabei. Einen Taschenrechner hat er nicht — er will im Kopf überschlagen, ob das Geld reicht.
| Ware | Menge | Preis |
|---|---|---|
| Müsli | 1 Packung | 3,49 € |
| Milch | 3 Flaschen | 1,19 € je Flasche |
| Käse | 1 Stück | 2,89 € |
| Bananen | 1,75 kg | 1,99 € je kg |
- Nenne die Preise für Müsli, eine Flasche Milch und den Käse jeweils auf ganze Euro gerundet.
- Schätze mit einem Überschlag ab, ob Pauls 15 € für den ganzen Einkauf reichen. Rechne danach genau nach.
- Erläutere, warum der Überschlag aus b) etwas zu niedrig liegt und wie Paul überschlagen müsste, um beim Bezahlen ganz sicher zu sein.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Müsli: 3,49 € ≈ 3 € (die 4 an der Zehntelstelle → abrunden).
Milch: 1,19 € ≈ 1 €.
Käse: 2,89 € ≈ 3 € (die 8 → aufrunden).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Überschlag: 3 € + 3 · 1 € + 3 € + 2 · 2 € = 13 €. Das liegt unter 15 €, das Geld reicht voraussichtlich.
Genau: Bananen 1,75 · 1,99 € = 3,4825 € ≈ 3,48 €. Summe: 3,49 € + 3,57 € + 2,89 € + 3,48 € = 13,43 €. Das Geld reicht, Paul bekommt 1,57 € zurück.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Müsli (3,49 → 3) und dreimal Milch (1,19 → 1) wurden abgerundet; dadurch fehlen im Überschlag 0,49 € + 3 · 0,19 € = 1,06 €. Aufgerundet wurden nur Käse und Bananen — und zwar um weniger. Deshalb liegt der Überschlag (13 €) unter dem genauen Betrag (13,43 €).
Sicher ist ein Überschlag, bei dem alle Preise aufgerundet werden: 4 € + 3 · 2 € + 3 € + 2 · 2 € = 17 €. Liegt dieser Wert unter dem vorhandenen Geld, reicht es garantiert. Hier liegt er über 15 €, dann muss man genauer rechnen — wie in b).
Der Sponsorenlauf
AFB II–IIIBeim Sponsorenlauf der Schule ist eine Runde 0,385 km lang. Die Sponsoren zahlen für jeden gelaufenen Kilometer 1,50 €. Lea schafft 19 Runden. Ihr Sponsor, Onkel Ben, rechnet schnell im Kopf: „Ungefähr 20 Runden zu 0,4 km, das sind 8 km — also zahle ich 12 €.“ Am Ende meldet die Klasse 6c: „Wir sind zusammen 212,4 km gelaufen.“
- Berechne die Strecke, die Lea gelaufen ist, und gib sie auch auf Zehntel Kilometer gerundet an.
- Überprüfe die Kopfrechnung von Onkel Ben: Um wie viel weicht sein Betrag vom genauen Betrag ab, und woher kommt die Abweichung?
- Nimm Stellung zu Toms Behauptung: „Mit den 212,4 km der Klasse kommen höchstens 150 € zusammen.“
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
19 · 0,385 km = 20 · 0,385 km − 0,385 km = 7,7 km − 0,385 km = 7,315 km.
Auf Zehntel gerundet: 7,315 km ≈ 7,3 km (rechts von der Zehntelstelle steht eine 1).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Genau: 7,315 · 1,50 € = 10,9725 € ≈ 10,97 €. Onkel Ben: 8 · 1,50 € = 12 €. Abweichung: 12 € − 10,97 € = 1,03 €.
Seine Rechnung ist als Überschlag brauchbar (richtige Größenordnung), aber etwas zu hoch: Er hat beide Werte aufgerundet (19 → 20 Runden und 0,385 → 0,4 km). Beide Rundungen vergrößern das Ergebnis, deshalb addieren sich die Fehler.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Überschlag: 212,4 km ≈ 200 km, 200 · 1,50 € = 300 €. Weil 212,4 sogar abgerundet wurde, ist der wahre Betrag noch größer als 300 €. Genau: 212,4 · 1,50 € = 318,60 €.
Tom hat nicht recht: Es kommt mehr als doppelt so viel wie 150 € zusammen. Vollständig ist die Antwort mit Überschlag, klarer Position und Begründung (auch der Hinweis, dass Abrunden hier eine untere Grenze liefert).