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Dezimalbrüche mal und geteilt

Warum ist \(0{,}5\cdot0{,}4\) kleiner als beide Zahlen — und \(3:0{,}5\) größer als \(3\)?

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Ohne Komma rechnen, dann Stellen zählen

Beim Multiplizieren rechnest du zuerst so, als gäbe es kein Komma.

  • Ohne Komma:\(1{,}2\cdot0{,}3\) → \(12\cdot3=36\).
  • Stellen zählen:\(1{,}2\) hat eine, \(0{,}3\) hat eine Nachkommastelle — zusammen zwei.
  • Komma setzen:\(1{,}2\cdot0{,}3=0{,}36\).
  • Null vorn:\(0{,}2\cdot0{,}3=0{,}06\) — für die zweite Stelle eine Null ergänzen.
  • Endnull:\(2{,}5\cdot0{,}4=1{,}00=1\) — erst das Komma setzen, dann Nullen streichen.
Herleitung:
\(1{,}2\cdot0{,}3=\dfrac{12}{10}\cdot\dfrac{3}{10}\)
als Brüche
Eine Nachkommastelle bedeutet Zehntel.
\(=\dfrac{12\cdot3}{10\cdot10}=\dfrac{36}{100}\)
multiplizieren
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner — oben steht die Rechnung ohne Komma.
\(=0{,}36\)
Ergebnis
Hundertstel heißt zwei Nachkommastellen — so viele, wie beide Faktoren zusammen haben.
Merke

Multiplizieren: Rechne ohne Komma. Das Ergebnis bekommt so viele Nachkommastellen wie beide Faktoren zusammen.

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Geteilt: den Divisor natürlich machen

Durch eine natürliche Zahl teilst du wie gewohnt — bei einem Dezimalbruch verschiebst du vorher die Kommas.

  • Durch natürliche Zahl:\(9{,}6:3=3{,}2\) — im Ergebnis das Komma setzen, sobald du im Dividenden das Komma überschreitest.
  • Nullen anhängen:\(1{,}5:4=1{,}500:4=0{,}375\).
  • Durch Dezimalbruch:\(4{,}8:0{,}6=48:6=8\).
  • Gleich weit:\(0{,}72:0{,}08=72:8=9\) — beide Kommas zwei Stellen nach rechts.
  • Warum erlaubt:Beide Zahlen mal 10 ändert den Quotienten nicht: \(6:2=60:20=3\).
Merke

Dividieren durch einen Dezimalbruch: \(a:b=(a\cdot10):(b\cdot10)\) — Komma bei Dividend und Divisor gleich weit nach rechts, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist.

Schau dir die Rechnung an und tippe, wo das Komma im Ergebnis steht (Tasten 1, 2, 3 wählen auch). Deck dann auf: Das Applet zählt die Nachkommastellen oder verschiebt die Kommas.

Wo steht das Komma?

Halte fest: Beim Malnehmen zählst du die Nachkommastellen beider Faktoren zusammen. Beim Teilen durch einen Dezimalbruch verschiebst du beide Kommas gleich weit.

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Allgemeine Hinweise

Mal macht nicht immer größer

\(0{,}5\cdot0{,}4=0{,}2\) ist kleiner als beide Faktoren. Wer mit einer Zahl kleiner als 1 malnimmt, verkleinert.

Nicht Komma unter Komma

Beim schriftlichen Multiplizieren stehen die Faktoren nebeneinander, nicht Komma unter Komma. Gezählt wird erst am Schluss.

Geteilt durch 0,5 heißt mal 2

\(3{,}5:0{,}5=35:5=7\). Wer durch eine Zahl kleiner als 1 teilt, bekommt ein größeres Ergebnis.

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