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Dezimalbrüche darstellen

Waagen und Preistafeln zeigen Zahlen mit Komma — zwei Aufgaben, in denen jede Stelle zählt.

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Auf dem Wochenmarkt

AFB I–II

Herr Özdemir kauft auf dem Wochenmarkt ein. Auf seinem Einkaufszettel stehen die Mengen als Brüche:

  • \(\tfrac{7}{20}\) kg Kirschen
  • \(1\tfrac25\) kg Kartoffeln
  • \(\tfrac{13}{50}\) kg Käse

Die Waagen am Markt zeigen das Gewicht in kg mit Komma an. Beim Käse zeigt die Waage 0,265 kg.

  1. Nenne den Stellenwert der Ziffer 6 in der Anzeige 0,265 kg und wie viel Gramm diese Ziffer bedeutet.
  2. An den Ständen erscheinen unter anderem diese Anzeigen: 0,035 kg · 0,35 kg · 1,04 kg · 1,4 kg · 0,026 kg · 0,26 kg. Ordne jeder Angabe auf dem Zettel die passende Anzeige zu.
  3. Berechne, wie viel Gramm Käse Herr Özdemir mehr bekommt, als auf seinem Zettel steht.
  4. Bei den Kartoffeln zeigt die Waage 1,400 kg. Herr Özdemir wundert sich, weil auf dem Zettel \(1\tfrac25\) kg steht. Erläutere, dass beide Angaben dasselbe Gewicht beschreiben.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zähle die Stellen nach dem Komma: Zehntel, Hundertstel, Tausendstel. 1 kg = 1000 g.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erweitere jeden Bruch auf den Nenner 10, 100 oder 1000. Achte bei den ähnlichen Anzeigen genau auf die Stelle nach dem Komma.
Hinweis zu Aufgabe c)
Schreibe beide Gewichte in Tausendstel Kilogramm, also in Gramm.
Hinweis zu Aufgabe d)
Zwei Dinge musst du erklären: die gemischte Zahl und die beiden Nullen am Ende.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die 6 steht an der zweiten Stelle nach dem Komma, also an der Hundertstelstelle. 6 Hundertstel kg = \(\tfrac{6}{100}\) kg = \(\tfrac{60}{1000}\) kg = 60 g.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Kirschen: \(\tfrac{7}{20}=\tfrac{35}{100}=0{,}35\) → 0,35 kg (nicht 0,035 kg).
Kartoffeln: \(1\tfrac25=1\tfrac{4}{10}=1{,}4\) → 1,4 kg (nicht 1,04 kg).
Käse: \(\tfrac{13}{50}=\tfrac{26}{100}=0{,}26\) → 0,26 kg (nicht 0,026 kg).

Die übrigen Anzeigen sind jeweils zehnmal kleiner — die Ziffern stehen eine Stelle zu weit rechts.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Zettel: \(\tfrac{13}{50}\) kg = 0,26 kg = 0,260 kg = 260 g. Waage: 0,265 kg = 265 g.

265 g − 260 g = 5 g. Herr Özdemir bekommt 5 g Käse mehr als geplant.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(1\tfrac25\) kg bedeutet 1 kg und \(\tfrac25\) kg. Mit 2 erweitert ist \(\tfrac25=\tfrac{4}{10}\), also 4 Zehntel kg — zusammen 1,4 kg.

Die Waage zeigt drei Stellen nach dem Komma, weil sie auf das Gramm (Tausendstel kg) genau misst. Die Nullen an der Hundertstel- und Tausendstelstelle sind Endnullen: \(1{,}400=1{,}4\). Beide Angaben bedeuten 1400 g.

2

Die Preistafel an der Tankstelle

AFB II–III

An Tankstellen haben die Literpreise drei Stellen nach dem Komma. Die letzte Ziffer steht meistens klein und hochgestellt da, zum Beispiel so:

Super E10  1,799 €

Tim meint: „Das ist doch praktisch 1,80 €. Der Unterschied ist nur ein Hundertstel Cent.“ In einer Werbung heißt es: „Bei uns tanken Sie immer unter 1,80 €!“ Ein Auto hat einen Tank mit 50 Litern.

  1. Interpretiere den Preis 1,799 € je Liter: Für welchen Geldbetrag steht jede einzelne Ziffer?
  2. Stelle den Preis als gemischte Zahl mit Zehnerbruch dar.
  3. Widerlege Tims Aussage über den Unterschied zu 1,80 €.
  4. Bewerte die Werbeaussage „immer unter 1,80 €“ für eine Kundin, die 50 Liter tankt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Denke an die Stellenwerttafel: 1 € = 10 Zehntel-Euro = 100 Cent. Welche Stelle ist dann 1 Cent?
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Ziffern nach dem Komma werden zu einem Zehnerbruch zusammengefasst. Wie viele Stellen — welcher Nenner?
Hinweis zu Aufgabe c)
Schreibe 1,80 € mit drei Stellen nach dem Komma und vergleiche Stelle für Stelle. Wie viel Cent ist ein Tausendstel Euro?
Hinweis zu Aufgabe d)
Berechne den Unterschied für 50 Liter: 50-mal ein Tausendstel Euro. Beurteile dann, ob die Werbung Kundinnen und Kunden wirklich etwas bringt.Bewerten heißt: ein Kriterium festlegen (hier: der tatsächliche Preisvorteil) und daran messen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

1 → 1 Euro · 7 → 7 Zehntel Euro = 70 ct · 9 → 9 Hundertstel Euro = 9 ct · 9 → 9 Tausendstel Euro = 0,9 ct.

Ein Liter kostet also 1 € und 79,9 ct — knapp 1 € und 80 ct.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(1{,}799=1+\tfrac{7}{10}+\tfrac{9}{100}+\tfrac{9}{1000}=1+\tfrac{700}{1000}+\tfrac{90}{1000}+\tfrac{9}{1000}=1\tfrac{799}{1000}\)

Der Preis beträgt \(1\tfrac{799}{1000}\) € je Liter.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

1,80 € = 1,800 €. Der Unterschied liegt an der Tausendstelstelle: 1,800 € − 1,799 € = 0,001 € = \(\tfrac{1}{1000}\) €.

1 Cent ist \(\tfrac{1}{100}\) €, also ist \(\tfrac{1}{1000}\) € ein Zehntel Cent (0,1 ct) und nicht ein Hundertstel Cent. Tim hat die Stelle falsch zugeordnet — seine Aussage ist widerlegt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Bei 50 Litern spart man 50 · \(\tfrac{1}{1000}\) € = \(\tfrac{50}{1000}\) € = \(\tfrac{5}{100}\) € = 5 ct gegenüber einem Preis von 1,80 € je Liter.

Die Aussage „unter 1,80 €“ ist mathematisch richtig, der Vorteil ist aber winzig: Eine volle Tankfüllung kostet nur 5 ct weniger. Die Werbung nutzt aus, dass man „1,79“ liest und die kleine Ziffer übersieht. Eine vollständige Bewertung nennt den Betrag von 5 ct und urteilt begründet, ob die Werbung irreführend ist oder nur geschickt — beide Urteile sind möglich, wenn sie mit der Rechnung begründet werden.