Apfelschorle im Test
AFB I–IIDie Klasse 6c testet beim Schulfest drei Apfelschorlen. Auf den Flaschen steht, wie viel Saft in der ganzen Füllmenge steckt:
| Schorle | Apfelsaft | Füllmenge insgesamt |
|---|---|---|
| A | 300 ml | 800 ml |
| B | 250 ml | 600 ml |
| C | 400 ml | 1000 ml |
- Lies für jede Schorle den Saftanteil aus der Tabelle ab und schreibe ihn als Bruch.
- Bestimme für jede Schorle den vollständig gekürzten Saftanteil.
- Vergleiche die drei Schorlen nach ihrem Saftanteil und bringe sie in eine Reihenfolge.
- Für ein Klassenfest wird Schorle B in der doppelten Menge gemischt: 500 ml Saft auf 1200 ml. Begründe, dass sich der Saftanteil dabei nicht ändert.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
A: \(\tfrac{300}{800}\), B: \(\tfrac{250}{600}\), C: \(\tfrac{400}{1000}\) — jeweils Saftmenge durch ganze Füllmenge.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
A: \(\tfrac{300}{800}=\tfrac{3}{8}\) (gekürzt mit 100).
B: \(\tfrac{250}{600}=\tfrac{5}{12}\) (gekürzt mit 50).
C: \(\tfrac{400}{1000}=\tfrac{2}{5}\) (gekürzt mit 200).
Die Brüche sind vollständig gekürzt, weil 3 und 8, 5 und 12 sowie 2 und 5 keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Hauptnenner 120: \(\tfrac38=\tfrac{45}{120}\), \(\tfrac{5}{12}=\tfrac{50}{120}\), \(\tfrac25=\tfrac{48}{120}\).
\(\tfrac{45}{120}<\tfrac{48}{120}<\tfrac{50}{120}\), also A < C < B. Schorle B hat den größten Saftanteil, Schorle A den kleinsten — obwohl C die meisten Milliliter Saft enthält.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Es werden Saft und Gesamtmenge verdoppelt: \(\tfrac{250\cdot 2}{600\cdot 2}=\tfrac{500}{1200}\). Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert — das ist Erweitern, und Erweitern ändert den Anteil nicht.
Kontrolle: \(\tfrac{500}{1200}\) gekürzt mit 100 ergibt \(\tfrac{5}{12}\), genau wie vorher.
Das Freiwurf-Turnier
AFB II–IIIIm Basketball-Training der AG hat jede Person unterschiedlich oft auf den Korb geworfen:
| Name | Würfe | Treffer |
|---|---|---|
| Ali | 24 | 18 |
| Bea | 20 | 14 |
| Cem | 28 | 21 |
| Dana | 30 | 22 |
Für das Turnier sollen die zwei besten Werferinnen oder Werfer ausgewählt werden.
- Ermittle für alle vier die Trefferquote als vollständig gekürzten Bruch und ordne sie der Größe nach.
- Cem hat 21 Treffer, Ali nur 18. Deute, was es bedeutet, dass beide trotzdem dieselbe Trefferquote haben.
- Bea sagt: „Wenn ich jetzt noch 5-mal werfe und jedes Mal treffe, habe ich eine bessere Quote als Ali.“ Überprüfe Beas Aussage.
- Dana schlägt vor, einfach die zwei Personen mit den meisten Treffern auszuwählen. Nimm Stellung zu diesem Vorschlag.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ali: \(\tfrac{18}{24}=\tfrac34\), Bea: \(\tfrac{14}{20}=\tfrac{7}{10}\), Cem: \(\tfrac{21}{28}=\tfrac34\), Dana: \(\tfrac{22}{30}=\tfrac{11}{15}\).
Nenner 60: \(\tfrac34=\tfrac{45}{60}\), \(\tfrac{11}{15}=\tfrac{44}{60}\), \(\tfrac{7}{10}=\tfrac{42}{60}\).
Reihenfolge: Ali = Cem (\(\tfrac{45}{60}\)) vor Dana (\(\tfrac{44}{60}\)) vor Bea (\(\tfrac{42}{60}\)).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Beide treffen im Schnitt 3 von 4 Würfen. Cem hat nur deshalb mehr Treffer, weil er öfter geworfen hat (28 statt 24 Würfe). \(\tfrac{21}{28}\) und \(\tfrac{18}{24}\) sind nur verschiedene Schreibweisen desselben Anteils — beide sind gleich treffsicher.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Danach hätte Bea 14 + 5 = 19 Treffer bei 20 + 5 = 25 Würfen: \(\tfrac{19}{25}=\tfrac{76}{100}\). Ali: \(\tfrac34=\tfrac{75}{100}\).
\(\tfrac{76}{100}>\tfrac{75}{100}\) — Bea hat recht, wenn auch nur ganz knapp: Ihre Quote würde von \(\tfrac{42}{60}\) auf \(\tfrac{76}{100}\) steigen und Alis \(\tfrac{75}{100}\) um \(\tfrac{1}{100}\) übertreffen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Nach Danas Vorschlag würden Dana (22 Treffer) und Cem (21 Treffer) ausgewählt. Nach der Trefferquote wären Ali und Cem (je \(\tfrac34\)) die besten, Dana liegt mit \(\tfrac{11}{15}\) knapp dahinter.
Der Vorschlag ist nicht fair, weil nicht alle gleich oft geworfen haben: Wer mehr wirft, sammelt automatisch mehr Treffer. Für einen fairen Vergleich zählt der Anteil. Eine vollständige Antwort nennt diesen Grund und schlägt vor, nach der Quote auszuwählen — oder alle gleich oft werfen zu lassen. Wer Dana wegen des sehr knappen Abstands (\(\tfrac{44}{60}\) zu \(\tfrac{45}{60}\)) für gleichwertig hält, sollte ein Stechen mit gleicher Wurfzahl vorschlagen.