MINT lernen

Erweitern, kürzen, ordnen

Ist \(\tfrac23\) einer Pizza mehr als \(\tfrac35\) — wer die Stücke geschickt zerschneidet, sieht es sofort.

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Gleicher Anteil, andere Zahlen

Schneidest du jedes Teil in gleich viele Stücke, ändern sich die Zahlen — der Anteil bleibt derselbe.

  • Erweitern:Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen: \(\tfrac23=\tfrac{2\cdot4}{3\cdot4}=\tfrac{8}{12}\).
  • Kürzen:Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen: \(\tfrac{12}{18}=\tfrac{12:6}{18:6}=\tfrac23\).
  • Kürzungszahl:muss Zähler und Nenner ohne Rest teilen — ein gemeinsamer Teiler.
  • Vollständig gekürzt:Zähler und Nenner haben nur noch den Teiler 1 gemeinsam, z. B. \(\tfrac{5}{8}\).
  • Gleichwertig:\(\tfrac12=\tfrac24=\tfrac36=\tfrac{50}{100}\) — immer derselbe Anteil.
Merke

Erweitern und Kürzen: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}\) und \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a:k}{b:k}\) für eine natürliche Zahl \(k\neq0\)

2

Wer ist größer?

Brüche vergleichst du am leichtesten, wenn sie denselben Nenner haben.

  • Gleicher Nenner:der größere Zähler gewinnt: \(\tfrac27<\tfrac57\).
  • Gleicher Zähler:der kleinere Nenner gewinnt, denn seine Teile sind größer: \(\tfrac38>\tfrac{3}{10}\).
  • Gleichnamig machen:sonst beide Brüche auf denselben Nenner erweitern.
  • Hauptnenner:der kleinste gemeinsame Nenner, z. B. 12 für \(\tfrac14\) und \(\tfrac16\).
  • Ordnen:alle gleichnamig machen, dann nach den Zählern sortieren.
Herleitung:
\(\dfrac23\ \ ?\ \ \dfrac35\)
Nenner 15
15 ist durch 3 und durch 5 teilbar — der gemeinsame Nenner.
\(\dfrac23=\dfrac{2\cdot5}{3\cdot5}=\dfrac{10}{15}\)
\(\cdot5\)
Den ersten Bruch mit 5 erweitern.
\(\dfrac35=\dfrac{3\cdot3}{5\cdot3}=\dfrac{9}{15}\)
\(\cdot3\)
Den zweiten Bruch mit 3 erweitern.
\(\dfrac{10}{15}>\dfrac{9}{15}\ \Rightarrow\ \dfrac23>\dfrac35\)
Ergebnis
Gleicher Nenner: Jetzt entscheidet der Zähler.
Merke

Gleichnamige Brüche vergleichen: \(\dfrac{a}{n}<\dfrac{b}{n}\), wenn \(a<b\)

Wähle Streifen A oder B und zerlege ihn feiner (×2, ×3, ×5) oder lege Teile wieder zusammen. „Beide gleich fein“ gibt beiden Streifen dieselbe Einteilung — dann kannst du die Teile direkt vergleichen. Tastatur: Streifen mit Enter wählen, Pfeil hoch zerlegt ×2, Pfeil runter legt zusammen.

Bruchstreifen-Werkstatt

Halte fest: Beim Zerlegen und Zusammenlegen bleibt die gefärbte Fläche gleich — nur Zähler und Nenner ändern sich. Haben beide Streifen dieselbe Einteilung, zählst du einfach die gefärbten Teile.

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Allgemeine Hinweise

Nur mal und geteilt

Addierst du zu Zähler und Nenner dieselbe Zahl, ändert sich der Anteil: \(\tfrac12\) ist nicht \(\tfrac{1+1}{2+1}=\tfrac23\).

Mit dem größten Teiler kürzen

\(\tfrac{24}{36}\) mit 12 gekürzt ist sofort \(\tfrac23\). Mit kleinen Teilern klappt es auch — nur in mehr Schritten.

Größerer Nenner, kleinere Teile

\(\tfrac18\) ist kleiner als \(\tfrac15\), obwohl 8 größer als 5 ist. Je mehr Teile, desto kleiner ist jedes einzelne.

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