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Brüche multiplizieren und dividieren

Ein Rezept hochrechnen, Zucker in Tüten abzählen, ein Beet aufteilen — Bruchrechnung im Alltag steckt fast immer in einem kleinen Wort: „von“.

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Muffins für das Schulfest

AFB I–II

Die Klasse 6c backt Muffins für das Schulfest. Im Rezept stehen die Zutaten für 12 Muffins: \(\tfrac{3}{4}\) kg Mehl, \(\tfrac{3}{8}\) kg Zucker und \(\tfrac{2}{5}\) l Milch.

  1. Gib an, wie viel Milch man für 6 Muffins braucht.
  2. Für das Schulfest sollen 30 Muffins gebacken werden. Berechne, wie viel Mehl man dafür braucht. Gib das Ergebnis als Bruch und als Dezimalbruch an.
  3. Zucker gibt es nur in Tüten zu \(\tfrac{1}{4}\) kg. Ermittle, wie viele Tüten die Klasse für 30 Muffins kaufen muss und wie viel Zucker übrig bleibt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
6 Muffins sind die Hälfte des Rezepts — „die Hälfte von“ heißt „\(\tfrac{1}{2}\) mal“.
Hinweis zu Aufgabe b)
Wie oft passen 12 Muffins in 30 Muffins? Schreibe das als gekürzten Bruch — mit diesem Faktor multiplizierst du jede Zutat.
Hinweis zu Aufgabe c)
Berechne zuerst die Zuckermenge für 30 Muffins. Dann: Wie oft passt \(\tfrac{1}{4}\) kg hinein? Eine angebrochene Tüte muss man ganz kaufen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\tfrac12\cdot\tfrac25=\tfrac{1\cdot2}{2\cdot5}=\tfrac{2}{10}=\tfrac15\)

Für 6 Muffins braucht man \(\tfrac{1}{5}\) l Milch, also 0,2 l = 200 ml.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Faktor: \(30:12=\tfrac{30}{12}=\tfrac52\). Mehl: \(\tfrac34\cdot\tfrac52=\tfrac{15}{8}=1\tfrac78\).

Als Dezimalbruch: \(\tfrac78=0{,}875\). Man braucht \(1\tfrac78\) kg, das sind 1,875 kg Mehl.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Zucker für 30 Muffins: \(\tfrac38\cdot\tfrac52=\tfrac{15}{16}\) kg.

Anzahl der Tüten: \(\tfrac{15}{16}:\tfrac14=\tfrac{15}{16}\cdot\tfrac41=\tfrac{15}{4}=3\tfrac34\).

3 Tüten reichen nicht, also muss die Klasse 4 Tüten kaufen. Das sind \(4\cdot\tfrac14=1\) kg, übrig bleiben \(1-\tfrac{15}{16}=\tfrac{1}{16}\) kg, also 62,5 g Zucker.

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Das Klassenbeet im Schulgarten

AFB II–III

Die Klasse 6c bekommt im Schulgarten ein Stück Land von 40 m². \(\tfrac{3}{5}\) des Landes werden Beete, der Rest wird Weg und Rasen. Auf \(\tfrac{3}{4}\) der Beetfläche soll Gemüse wachsen, auf dem Rest der Beetfläche Blumen.

Im nächsten Jahr bekommt die Klasse nur noch 30 m² Land, möchte aber wieder genauso viel Gemüsefläche haben.

  1. Bestimme den Anteil des ganzen Landes, auf dem Gemüse wächst, und gib die Gemüsefläche in m² an.
  2. Lukas behauptet: „Die Blumen bekommen \(\tfrac{1}{4}\) des Landes.“ Überprüfe seine Aussage.
  3. Für das nächste Jahr gibt es zwei Vorschläge. Paula: „Wir machen \(\tfrac{4}{5}\) des Landes zu Beeten und davon wieder \(\tfrac{3}{4}\) zu Gemüse.“ Tom: „Wir lassen \(\tfrac{3}{5}\) Beete und pflanzen dort einfach nur noch Gemüse.“ Beurteile die beiden Vorschläge.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
„\(\tfrac{3}{4}\) von \(\tfrac{3}{5}\)“ — ein Anteil von einem Anteil. „von“ heißt mal.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Blumen bekommen \(\tfrac{1}{4}\) — aber \(\tfrac{1}{4}\) wovon? Rechne den Anteil am ganzen Land aus und vergleiche.
Hinweis zu Aufgabe c)
Prüfe für beide Vorschläge: Wird die Gemüsefläche aus a) erreicht? Was passiert mit den Blumen, was mit Weg und Rasen? Entscheide, welcher Vorschlag besser ist, und begründe.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Anteil: \(\tfrac34\cdot\tfrac35=\tfrac{9}{20}\) des Landes.

Fläche: \(\tfrac{9}{20}\cdot 40\,\text{m}^2=\tfrac{360}{20}\,\text{m}^2=18\,\text{m}^2\). Auf 18 m² wächst Gemüse.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Blumen: \(1-\tfrac34=\tfrac14\) der Beetfläche, also \(\tfrac14\cdot\tfrac35=\tfrac{3}{20}\) des Landes.

Das sind \(\tfrac{3}{20}\cdot 40\,\text{m}^2=6\,\text{m}^2\). \(\tfrac{1}{4}\) des Landes wären 10 m². Lukas irrt sich: Er hat \(\tfrac{1}{4}\) der Beetfläche mit \(\tfrac{1}{4}\) des ganzen Landes verwechselt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Paula: Beete \(\tfrac45\cdot 30\,\text{m}^2=24\,\text{m}^2\), Gemüse \(\tfrac34\cdot 24\,\text{m}^2=18\,\text{m}^2\). Das Ziel wird erreicht; für Blumen bleiben 24 m² − 18 m² = 6 m² — genauso viel wie bisher. Weg und Rasen schrumpfen aber von 16 m² auf 6 m².

Tom: Beete \(\tfrac35\cdot 30\,\text{m}^2=18\,\text{m}^2\). Soll das alles Gemüse sein, ist der Gemüseanteil der Beete \(18:18=1\), also die ganze Beetfläche. Das Ziel wird erreicht, Weg und Rasen bleiben mit 12 m² größer, aber es gibt keine Blumen mehr.

Urteil: Beide Vorschläge liefern rechnerisch 18 m² Gemüse. Welcher besser ist, hängt vom Kriterium ab: Wer die Blumen behalten will, wählt Paulas Plan; wer genug Platz für Wege braucht, wählt Toms Plan. Eine vollständige Antwort rechnet beide Vorschläge nach, nennt ein Kriterium und entscheidet sich begründet.