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Brüche mal und geteilt

Die Hälfte von einer Dreiviertel-Pizza ist weniger als vorher — aber warum wird eine Zahl größer, wenn man sie durch \(\tfrac12\) teilt?

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Ein Anteil vom Anteil

Beim Malnehmen mit einem Bruch nimmt man einen Teil von einem Teil.

  • Bruch mal Zahl:\(\tfrac25\cdot3=\tfrac{2\cdot3}{5}=\tfrac65\) — nur der Zähler wird multipliziert.
  • „von“ heißt „mal“:Die Hälfte von \(\tfrac34\) ist \(\tfrac12\cdot\tfrac34\).
  • Bruch mal Bruch:Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: \(\tfrac12\cdot\tfrac34=\tfrac38\).
  • Vorher kürzen:\(\tfrac49\cdot\tfrac38=\tfrac{1\cdot1}{3\cdot2}=\tfrac16\) — 4 mit 8 und 3 mit 9 gekürzt.
  • Kleiner als vorher:Mal einem echten Bruch wird das Ergebnis kleiner.

Stelle mit den Reglern zwei Brüche ein. Der erste färbt Spalten blau, der zweite Zeilen orange. Zähle die violetten Kästchen, die doppelt gefärbt sind.

Rechteck-Modell

Halte fest: Die Nenner geben an, in wie viele Kästchen das Ganze zerfällt (\(b\cdot d\)), die Zähler, wie viele davon doppelt gefärbt sind (\(a\cdot c\)).

Merke

Multiplizieren: \(\dfrac ab\cdot\dfrac cd=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}\) und \(\dfrac ab\cdot n=\dfrac{a\cdot n}{b}\)

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Teilen mit dem Kehrwert

Durch einen Bruch teilt man, indem man mit seinem Kehrwert malnimmt.

  • Durch eine Zahl:\(\tfrac34:2=\tfrac{3}{4\cdot2}=\tfrac38\) — der Nenner wird multipliziert.
  • Kehrwert:Zähler und Nenner tauschen: \(\tfrac25\) wird zu \(\tfrac52\).
  • Durch einen Bruch:\(\tfrac34:\tfrac25=\tfrac34\cdot\tfrac52=\tfrac{15}{8}\).
  • Größer als vorher:\(3:\tfrac12=6\) — in 3 Pizzen stecken 6 halbe Pizzen.
Herleitung:
\(\dfrac34:\dfrac25=\left(\dfrac34\cdot\dfrac52\right):\left(\dfrac25\cdot\dfrac52\right)\)
beide \(\cdot\,\tfrac52\)
Ein Quotient bleibt gleich, wenn man beide Zahlen mit derselben Zahl malnimmt — so wie \(6:2=12:4\).
\(=\left(\dfrac34\cdot\dfrac52\right):1\)
\(\tfrac25\cdot\tfrac52=1\)
Ein Bruch mal seinem Kehrwert ergibt immer \(1\): \(\tfrac{2\cdot5}{5\cdot2}=\tfrac{10}{10}\).
\(=\dfrac34\cdot\dfrac52\)
\(:1\) weglassen
Durch \(1\) teilen ändert nichts.
\(\dfrac34:\dfrac25=\dfrac34\cdot\dfrac52=\dfrac{15}{8}\)
Ergebnis
Aus „geteilt durch \(\tfrac25\)“ wird „mal \(\tfrac52\)“.
Merke

Dividieren: \(\dfrac ab:\dfrac cd=\dfrac ab\cdot\dfrac dc=\dfrac{a\cdot d}{b\cdot c}\) und \(\dfrac ab:n=\dfrac{a}{b\cdot n}\)

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Allgemeine Hinweise

Kein gemeinsamer Nenner

Beim Mal- und Geteiltrechnen muss man die Brüche nicht gleichnamig machen. Das braucht man nur bei Plus und Minus.

Nur den Teiler umdrehen

Bei \(\tfrac34:\tfrac25\) wird nur \(\tfrac25\) zum Kehrwert \(\tfrac52\). Der erste Bruch \(\tfrac34\) bleibt, wie er ist.

Erst kürzen, dann rechnen

Kürze schon im Bruchstrich, auch über Kreuz: \(\tfrac{5}{6}\cdot\tfrac{9}{10}=\tfrac{1\cdot3}{2\cdot2}=\tfrac34\). Kleine Zahlen sind leichter.

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