MINT lernen

Brüche addieren und subtrahieren

Passt ein Teich noch in den Schulgarten? Zwei Aufgaben, in denen Brüche addiert, verglichen und geschickt geplant werden.

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Leas Lernnachmittag

AFB I–II

Lea hat sich für den Nachmittag einen Plan gemacht: \(\tfrac23\) Stunde Mathe, \(\tfrac14\) Stunde Deutsch und \(\tfrac16\) Stunde Englisch. Um 15 Uhr fängt sie an. Um 16 Uhr beginnt ihr Fußballtraining.

  1. Gib den Hauptnenner der drei Brüche an.
  2. Berechne die gesamte Lernzeit als Bruch und in Minuten. Entscheide, ob Lea pünktlich zum Training fertig ist.
  3. Leas Bruder rechnet: \(\tfrac23+\tfrac14+\tfrac16=\tfrac{2+1+1}{3+4+6}=\tfrac4{13}\) Stunde. Erläutere an diesem Beispiel, warum man die Nenner nicht addieren darf.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Suche die kleinste Zahl, die durch 3, durch 4 und durch 6 teilbar ist. Gehe die Vielfachen von 6 durch.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erweitere alle drei Brüche auf den Hauptnenner und addiere die Zähler. Eine Stunde hat 60 Minuten: \(\tfrac1{12}\) h sind 5 min.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche das Ergebnis des Bruders mit der Mathezeit allein. Kann die gesamte Zeit kürzer sein als ein Teil davon?Erläutern heißt: den Fehler an Zahlen aus der Aufgabe nachvollziehbar machen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Vielfache von 6: 6, 12, … — 12 ist auch durch 3 und durch 4 teilbar. Der Hauptnenner ist \(\operatorname{kgV}(3,4,6)=12\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\tfrac23+\tfrac14+\tfrac16=\tfrac8{12}+\tfrac3{12}+\tfrac2{12}=\tfrac{13}{12}=1\tfrac1{12}\) Stunden.

In Minuten: \(\tfrac1{12}\) h = 60 min : 12 = 5 min, also \(\tfrac{13}{12}\) h = 13 · 5 min = 65 min.

Lea lernt 65 Minuten und ist erst um 16:05 Uhr fertig — 5 Minuten zu spät für das Training.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\tfrac4{13}\) Stunde sind nur etwa 18 Minuten. Schon Mathe allein dauert \(\tfrac23\) h = 40 min. Die Summe kann nicht kleiner sein als einer ihrer Teile — das Ergebnis ist also unmöglich.

Grund: Der Nenner gibt an, wie groß die Teile sind (Drittel, Viertel, Sechstel). Verschieden große Teile kann man nicht einfach zusammenzählen. Man muss sie erst auf gleich große Teile (Zwölftel) bringen und dann nur die Zähler addieren; der Nenner bleibt 12.

2

Platz im Schulgarten

AFB II–III

Die Garten-AG betreut ein Stück Schulgarten mit 120 m² Fläche. Zurzeit wird es so genutzt: \(\tfrac38\) Gemüsebeete, \(\tfrac14\) Blumenbeete, \(\tfrac16\) Kräuterspirale. Der Rest ist Wiese.

Die AG möchte einen kleinen Teich anlegen, der \(\tfrac15\) der Gartenfläche einnimmt. Er soll auf der Wiese entstehen. Später soll außerdem ein Beet für Wildbienen mit \(\tfrac1{10}\) der Gartenfläche dazukommen.

  1. Stelle einen Term für den Anteil der Wiese an der Gartenfläche auf.
  2. Ermittle den Anteil der Wiese als vollständig gekürzten Bruch und ihre Fläche in m².
  3. Überprüfe, ob der Teich auf die Wiese passt. Vergleiche die beiden Anteile auch als Dezimalbrüche.
  4. Teich und Wildbienenbeet sollen beide in den Garten. Entwickle einen Vorschlag, welche andere Fläche um welchen Bruchteil verkleinert wird, damit alles Platz hat. Weise nach, dass dein Vorschlag reicht.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Das ganze Grundstück ist 1. Von diesem Ganzen werden alle bekannten Anteile abgezogen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Der Hauptnenner von 8, 4 und 6 ist 24. Für die Fläche: Wie viele m² sind \(\tfrac1{24}\) von 120 m²?
Hinweis zu Aufgabe c)
Mache \(\tfrac15\) und den Anteil der Wiese gleichnamig — oder rechne beide Brüche in Dezimalbrüche um. Einer davon wird periodisch.
Hinweis zu Aufgabe d)
Berechne zuerst, welcher Anteil für Teich und Wildbienenbeet zusammen gebraucht wird, und wie viel davon auf der Wiese fehlt. Suche dann eine Fläche, die man um mindestens diesen Anteil verkleinern kann.Entwickeln heißt: einen eigenen Plan machen und mit einer Rechnung zeigen, dass er aufgeht.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Anteil der Wiese: \(1-\tfrac38-\tfrac14-\tfrac16\) (gleichwertig: \(1-\left(\tfrac38+\tfrac14+\tfrac16\right)\)).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(1-\tfrac38-\tfrac14-\tfrac16=\tfrac{24}{24}-\tfrac9{24}-\tfrac6{24}-\tfrac4{24}=\tfrac5{24}\). Der Bruch lässt sich nicht kürzen.

Fläche: \(\tfrac1{24}\) von 120 m² = 5 m², also \(\tfrac5{24}\) von 120 m² = 25 m². Die Wiese ist 25 m² groß.

Probe: Gemüse 45 m², Blumen 30 m², Kräuter 20 m², Wiese 25 m² — zusammen 120 m².

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Gleichnamig mit Nenner 120: \(\tfrac15=\tfrac{24}{120}\) und \(\tfrac5{24}=\tfrac{25}{120}\). Es ist \(\tfrac{24}{120}<\tfrac{25}{120}\).

Als Dezimalbrüche: \(\tfrac15=0{,}2\) und \(\tfrac5{24}=0{,}208333\ldots=0{,}208\overline{3}\). Wegen \(0{,}200<0{,}208\) passt der Teich auf die Wiese. Es bleibt nur \(\tfrac1{120}\) des Gartens übrig, also 1 m² Wiese.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Bedarf: \(\tfrac15+\tfrac1{10}=\tfrac2{10}+\tfrac1{10}=\tfrac3{10}\). Es fehlen \(\tfrac3{10}-\tfrac5{24}=\tfrac{36}{120}-\tfrac{25}{120}=\tfrac{11}{120}\) des Gartens, das sind 11 m².

Beispielvorschlag: Die Blumenbeete werden von \(\tfrac14\) auf \(\tfrac18\) verkleinert. Dadurch werden \(\tfrac14-\tfrac18=\tfrac18=\tfrac{15}{120}\) frei, und \(\tfrac{15}{120}>\tfrac{11}{120}\). Es bleiben sogar \(\tfrac4{120}\) (4 m²) Wiese übrig.

Andere Vorschläge sind richtig, wenn die frei werdende Fläche mindestens \(\tfrac{11}{120}\) (11 m²) beträgt, z. B. Gemüse von \(\tfrac38\) auf \(\tfrac14\) (frei: \(\tfrac18\)) oder die Kräuterspirale ganz aufgeben (frei: \(\tfrac16=\tfrac{20}{120}\)). Vorschläge wie „Kräuter auf \(\tfrac1{12}\)“ reichen nicht (frei: nur \(\tfrac{10}{120}\)). Zur vollständigen Antwort gehört die Rechnung mit dem Nachweis.