MINT lernen

Anteile und Bruchteile

Zwei Aufgaben aus dem Schulleben: eine Klassenfahrt und ein Sponsorenlauf — mit Anteilen, die man auch rückwärts rechnen muss.

1

Die Klassenfahrt der 6b

AFB I–II

Die Klasse 6b hat 30 Schülerinnen und Schüler. Bei einer Umfrage zum Ziel der Klassenfahrt wollen \(\tfrac25\) der Klasse an die Nordsee und \(\tfrac13\) in den Harz. Alle anderen stimmen für Berlin.

Die Fahrt kostet 180 € pro Kind. Der Förderverein übernimmt \(\tfrac16\) dieses Betrags. Vom Rest müssen die Familien bis März \(\tfrac25\) als Anzahlung überweisen.

  1. Gib an, in wie viele gleich große Gruppen man die Klasse für den Bruch \(\tfrac13\) gedanklich einteilt und wie viele Kinder in einer Gruppe sind.
  2. Berechne, wie viele Kinder für die Nordsee, für den Harz und für Berlin stimmen.
  3. Bestimme den Betrag, den eine Familie nach dem Zuschuss insgesamt zahlt, und die Höhe der Anzahlung.
  4. Tim sagt: „\(\tfrac25\) und \(\tfrac13\) sind zusammen \(\tfrac38\) der Klasse — ich rechne ja nur 2 + 1 und 5 + 3.“ Erkläre mit Hilfe der Kinderzahlen aus b), warum Tims Ergebnis nicht stimmen kann.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Der Nenner sagt, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wird. Das Ganze sind hier 30 Kinder.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erst durch den Nenner teilen, dann mit dem Zähler malnehmen. Die Berlin-Gruppe ist der Rest.
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne in zwei Schritten: Zuerst den Zuschuss als Bruchteil von 180 € — dann ist der Restbetrag das neue Ganze für die Anzahlung.
Hinweis zu Aufgabe d)
Wie viele Kinder wären \(\tfrac38\) von 30? Vergleiche außerdem beide Ergebnisse mit der Hälfte der Klasse.Erklären heißt: nicht nur sagen, dass es falsch ist, sondern den Grund zeigen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Der Nenner 3 bedeutet: Die 30 Kinder werden in 3 gleich große Gruppen eingeteilt. Eine Gruppe hat 30 : 3 = 10 Kinder. Der Zähler 1 sagt, dass eine dieser Gruppen gemeint ist.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Nordsee: \(\tfrac25\) von 30 = 30 : 5 · 2 = 6 · 2 = 12 Kinder.
Harz: \(\tfrac13\) von 30 = 30 : 3 · 1 = 10 Kinder.
Berlin: 30 − 12 − 10 = 8 Kinder.

12 Kinder wollen an die Nordsee, 10 in den Harz und 8 nach Berlin.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Zuschuss: \(\tfrac16\) von 180 € = 180 € : 6 = 30 €. Die Familie zahlt 180 € − 30 € = 150 €.
Anzahlung: \(\tfrac25\) von 150 € = 150 € : 5 · 2 = 30 € · 2 = 60 €.

Eine Familie zahlt insgesamt 150 €, davon 60 € als Anzahlung bis März.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Nordsee und Harz zusammen sind 12 + 10 = 22 Kinder, also mehr als die Hälfte der Klasse (15 Kinder).

\(\tfrac38\) ist dagegen weniger als die Hälfte (\(\tfrac48\) wäre die Hälfte). Außerdem wären \(\tfrac38\) von 30 Kindern 30 : 8 · 3 = 11,25 Kinder — eine Kinderzahl kann nicht 11,25 sein.

Tims Fehler: Zähler und Nenner dürfen nicht einfach addiert werden. Fünftel und Drittel sind verschieden große Teile, man kann sie nicht wie gleiche Teile zusammenzählen.

2

Der Sponsorenlauf

AFB II–III

Beim Sponsorenlauf der Schule läuft man auf einem Rundkurs. Eine Runde ist 400 m lang, gezählt werden nur volle Runden.

  • Lea hat sich 6 km vorgenommen. Nach 40 Minuten hat sie \(\tfrac{7}{10}\) ihres Ziels geschafft.
  • Ben hat nach 45 Minuten \(\tfrac58\) seines Ziels geschafft — das sind 15 Runden.
  • Mara sagt: „Ich habe \(\tfrac23\) meines Ziels geschafft, mir fehlen noch 8 Runden. Mein Ziel waren also 12 Runden.“

Leas Oma macht zwei Angebote: Angebot A: 50 ct für jede volle Runde. Angebot B: \(\tfrac25\) von 1 € für jede volle Runde und zusätzlich einmalig 2 €.

  1. Ermittle, wie viele volle Runden Lea nach 40 Minuten gelaufen ist.
  2. Vergleiche Bens Ziel mit Leas Ziel — in Runden und in Kilometern.
  3. Überprüfe Maras Aussage.
  4. Lea möchte ihr Ziel von 6 km genau erreichen. Beurteile, welches Angebot sie wählen sollte. Gehe auch darauf ein, ob sich deine Entscheidung ändert, wenn Lea deutlich mehr läuft.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Bestimme zuerst die Strecke in Metern und überlege dann, wie viele volle 400-m-Runden hineinpassen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Rückwärts rechnen: 15 Runden sind 5 Achtel. Wie viele Runden ist ein Achtel?
Hinweis zu Aufgabe c)
Welcher Bruchteil des Ziels fehlt Mara noch? Diesem Bruchteil entsprechen die 8 Runden.
Hinweis zu Aufgabe d)
Berechne zuerst, wie viele Runden 6 km sind, und vergleiche dann die Beträge. Überlege: Um wie viel Cent unterscheiden sich die Angebote pro Runde, und wie lange gleichen die 2 € das aus?Beurteilen heißt: Kriterien nennen, rechnen, dann ein begründetes Urteil fällen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

6 km = 6000 m. \(\tfrac{7}{10}\) von 6000 m = 6000 m : 10 · 7 = 4200 m.

4200 m : 400 m = 10,5. Weil nur volle Runden zählen, hat Lea nach 40 Minuten 10 volle Runden geschafft.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\tfrac58\) sind 15 Runden, also ist \(\tfrac18\) = 15 : 5 = 3 Runden. Das ganze Ziel: 3 · 8 = 24 Runden = 24 · 400 m = 9600 m = 9,6 km.

Leas Ziel ist 6 km = 15 Runden. Ben hat sich 9 Runden bzw. 3,6 km mehr vorgenommen als Lea.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mara hat \(\tfrac23\) geschafft, es fehlt also noch \(\tfrac13\) ihres Ziels. Dieses Drittel sind die 8 Runden. Das ganze Ziel sind 3 · 8 = 24 Runden.

Maras Aussage ist falsch: Sie hat die 8 fehlenden Runden so behandelt, als wären sie die geschafften \(\tfrac23\). Mit 12 Runden als Ziel hätte sie schon 8 Runden geschafft und es würden nur noch 4 fehlen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

6 km = 6000 m, 6000 m : 400 m = 15 Runden.
Angebot A: 15 · 50 ct = 750 ct = 7,50 €.
Angebot B: \(\tfrac25\) von 1 € = 100 ct : 5 · 2 = 40 ct je Runde; 15 · 40 ct = 600 ct = 6 €, dazu 2 €: 8 €.

Für Leas Ziel ist Angebot B um 50 ct besser. Allgemein bringt A pro Runde 10 ct mehr; die 2 € Startbonus von B sind nach 20 Runden aufgebraucht. Bei genau 20 Runden (8 km) sind beide Angebote gleich (10 €), ab 21 Runden ist A besser.

Urteil: Lea sollte B wählen. Nur wenn sie sicher mehr als 20 Runden schafft, wäre A günstiger. Vollständig ist die Antwort, wenn beide Beträge für 15 Runden berechnet sind und die Grenze bei 20 Runden begründet wird.