Hört 1 : 7 irgendwann auf? Zehn Übungen, in denen du Perioden erkennst, bevor du lange rechnest.
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Übungsaufgaben
Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III, dazu eine Mix-Aufgabe zum Ordnen und eine Trickaufgabe. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei den Rechenaufgaben helfen dir gestufte Tipps.
A1
Welche Brüche brechen ab?
AFB I
Welche Brüche ergeben einen abbrechenden Dezimalbruch? Kürze zuerst und untersuche dann den Nenner.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
²¹⁄₂₈ sieht wegen der 7 im Nenner periodisch aus, gekürzt ist es aber ³⁄₄ = 0,75. Bei ¹¹⁄₃₀ steckt in 30 = 2 · 3 · 5 der Faktor 3 — der lässt sich nicht wegkürzen, also periodisch (0,36̅). Auch ⁵⁄₂₄ ist periodisch: 24 = 2 · 2 · 2 · 3.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I
Fünf Behauptungen über abbrechende und periodische Dezimalbrüche.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Ob ein Dezimalbruch abbricht, hängt nur vom Nenner des vollständig gekürzten Bruchs ab — nicht davon, wie groß Zähler oder Nenner sind.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I
Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Bei ¹⁷⁄₄₀ = 0,425 bleibt bei der Division irgendwann der 0 — der Dezimalbruch ist . Bei ⁴⁄₁₁ = 0,3̅6̅ wiederholt sich der Ziffernblock 36; er heißt . Weil sie direkt hinter dem Komma beginnt, ist 0,3̅6̅ . Bei ⁷⁄₁₂ = 0,583̅ stehen erst 5 und 8 ohne Wiederholung, danach die 3 — der Dezimalbruch ist .
„Zähler“ bleibt übrig: Ob ein Dezimalbruch abbricht oder periodisch ist, entscheidet der Nenner des gekürzten Bruchs.
A4
Abbrechend, rein oder gemischt periodisch?
AFB I
Sortiere die Brüche nach der Art ihres Dezimalbruchs. Du darfst im Kopf oder auf einem Zettel rechnen.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1abbrechend
2rein periodisch
3gemischt periodisch
⁶⁄₇₅ ist gekürzt ²⁄₂₅ = 0,08 und bricht ab — die 3 aus 75 fällt beim Kürzen weg. Gemischt periodisch wird es, wenn im Nenner neben 3, 7, 11 … auch noch 2 oder 5 steckt: ¹⁄₆ = 0,16̅, ⁷⁄₁₅ = 0,46̅, ¹¹⁄₄₅ = 0,24̅.
A5
Erweitern statt dividieren
AFB II
Bei Nennern mit nur den Primfaktoren 2 und 5 kann man auf 10, 100, 1000 … erweitern. Schreibe die Brüche als Dezimalbrüche.
Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft ebenfalls.
⁷⁄₈ =
¹¹⁄₂₅ =
¹³⁄₄₀ =
³⁄₁₆ =
⁷⁄₈ = ⁸⁷⁵⁄₁₀₀₀ = 0,875 (mit 125 erweitert), ¹¹⁄₂₅ = ⁴⁴⁄₁₀₀ = 0,44, ¹³⁄₄₀ = ³²⁵⁄₁₀₀₀ = 0,325, ³⁄₁₆ = ¹⁸⁷⁵⁄₁₀₀₀₀ = 0,1875. Typischer Fehler: 0,375 statt 0,875 — dann wurde nur der Nenner, nicht der Zähler erweitert.
Ansatz: Suche eine Zahl, mit der der Nenner 10, 100, 1000 oder 10000 wird: 8 · 125 = 1000, 25 · 4 = 100.
Für 40 und 16: 40 · 25 = 1000 und 16 · 625 = 10000. Vergiss nicht, den Zähler mit derselben Zahl zu malnehmen.
Lösungsweg: Aus dem Zehnerbruch liest du den Dezimalbruch ab: so viele Nullen im Nenner, so viele Stellen nach dem Komma, z. B. ⁴⁴⁄₁₀₀ = 0,44.
A6
Bruch sucht Dezimalbruch
AFB II
Verbinde jeden Bruch mit seinem Dezimalbruch. Achte genau darauf, über welchen Ziffern der Strich steht.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Drei Karten sehen fast gleich aus: 0,2̅ = 0,222…, 0,0̅2̅ = 0,020202… und 0,02̅ = 0,0222… Der Strich zeigt genau, welcher Block sich wiederholt. ²⁄₉₉ hat eine zweistellige Periode, ¹⁄₄₅ beginnt erst ab der zweiten Stelle zu wiederholen.
Vergleich: ¹⁄₄₅ ist ein Zehntel von ²⁄₉, denn ²⁄₉ : 10 = ²⁄₉₀ = ¹⁄₄₅. Was passiert mit dem Komma beim Teilen durch 10?
Lösungsweg: 2 : 99 = 0,0202…, 1 : 12 = 0,0833…, 3 : 11 = 0,2727… — schreibe jeweils den Strich über den Block, der sich wiederholt.
A7
Fehlersuche im Schulheft
AFB II
Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am häufigsten in Arbeiten: aufhören, bevor ein Rest wiederkommt, und den Periodenstrich über zu viele Ziffern setzen.
A8
Ordnen mit Brüchen und Dezimalbrüchen — Mix-Aufgabe
Mix
Wiederholung aus 1.1.4: Bringe die Zahlen in eine Reihenfolge — oben die kleinste, unten die größte. Wandle die Brüche dazu in Dezimalbrüche um.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1⁵⁄₈
20,65
30,66
4²⁄₃
50,67
⁵⁄₈ = 0,625 ist die kleinste Zahl. Knifflig ist ²⁄₃ = 0,6̅ = 0,6666…: größer als 0,66 (0,6600…), aber kleiner als 0,67 (0,6700…). Vergleiche periodische Zahlen, indem du genug Stellen hinschreibst.
A9
Trickaufgabe — Was ergibt 0,3̅ + 0,6̅?
AFB III
Berechne 0,3̅ + 0,6̅ ganz genau. Tipp zum Nachdenken: Welche Brüche stecken hinter den beiden Dezimalbrüchen?
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
0,3̅ = ¹⁄₃ und 0,6̅ = ²⁄₃. Zusammen ³⁄₃ = 1. Wer Stelle für Stelle addiert, erhält 0,999… = 0,9̅ — und das ist tatsächlich genau dieselbe Zahl wie 1. Eingaben wie 0,999 sind zu klein: Da fehlt noch 1 Tausendstel.
Ansatz: 0,3̅ kennst du als Bruch: 1 : 3 = 0,333… Welcher Bruch ergibt 0,666…?
Brüche addieren: Addiere die beiden gleichnamigen Brüche. Der Nenner bleibt.
Lösungsweg: ¹⁄₃ + ²⁄₃ = ³⁄₃. Wie heißt ³⁄₃ als ganze Zahl?
A10
Weit hinter dem Komma
AFB III
⁵⁄₇ = 0,7̅1̅4̅2̅8̅5̅. Addiere alle Ziffern von der 1. bis zur 40. Stelle nach dem Komma. Welche Summe erhältst du?
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Die Periode 714285 hat 6 Stellen, ihre Ziffernsumme ist 7 + 1 + 4 + 2 + 8 + 5 = 27. 40 = 6 · 6 + 4: sechs volle Perioden ergeben 6 · 27 = 162, dazu die ersten 4 Ziffern der nächsten Periode 7 + 1 + 4 + 2 = 14. Zusammen 176. Typischer Fehler: 40 : 6 ≈ 7 Perioden rechnen und 7 · 27 = 189 angeben.
Ansatz: Wie lang ist die Periode, und wie groß ist die Summe ihrer Ziffern?
Pakete: Pack die 40 Stellen in Sechserpakete. Wie viele volle Pakete passen hinein, und wie viele Stellen bleiben übrig?
Lösungsweg: 6 volle Perioden (36 Stellen) haben die Summe 6 · 27. Die Stellen 37 bis 40 sind 7, 1, 4, 2 — addiere sie dazu.
