MINT lernen

Abbrechende und periodische Dezimalbrüche

Warum lassen sich 25 € nicht gerecht durch 24 teilen? Zwei Alltagsaufgaben, in denen Perioden plötzlich wichtig werden.

1

Apfelschorle für den Wandertag

AFB I–II

Für den Wandertag hat die Klasse 6c eine Kanne mit 5 Litern Apfelschorle dabei. Bei jeder Pause wird die ganze Kanne gerecht auf die Becher der Kinder verteilt, die gerade Durst haben. Der Messbecher hat eine Skala in Millilitern (1 L = 1000 mL).

  1. Berechne, wie viel Liter Schorle jeder Becher bekommt, wenn 8 Kinder Durst haben. Gib das Ergebnis als Dezimalbruch an.
  2. Bestimme die Menge pro Becher als Dezimalbruch, wenn 6 Kinder Durst haben, und gib an, welche Art von Dezimalbruch entsteht.
  3. In weiteren Pausen haben 4, 7, 10, 15, 16 oder 25 Kinder Durst. Erkläre ohne zu dividieren, in welchen Fällen die Menge pro Becher ein abbrechender Dezimalbruch ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Jeder Becher bekommt \(\tfrac58\) Liter. Rechne \(5:8\) schriftlich oder erweitere \(\tfrac58\) auf den Nenner 1000.
Hinweis zu Aufgabe b)
Rechne \(5:6\) schriftlich und schreibe dir jeden Rest auf. Höre erst auf, wenn ein Rest zum zweiten Mal auftaucht.
Hinweis zu Aufgabe c)
Schreibe die Brüche \(\tfrac54,\ \tfrac57,\ \ldots\) auf, kürze sie vollständig und zerlege die Nenner in Primfaktoren.Erklären heißt: die Regel nennen und bei jeder Zahl zeigen, warum sie gilt.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\tfrac58 = 5:8\). Erweitern mit 125: \(\tfrac58=\tfrac{625}{1000}=0{,}625\).

Jeder Becher bekommt 0,625 L, also 625 mL.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(5:6 = 0\) Rest 5; \(50:6=8\) Rest 2; \(20:6=3\) Rest 2; \(20:6=3\) Rest 2 … Der Rest 2 kommt wieder, deshalb wiederholt sich die 3 ohne Ende.

\(\tfrac56 = 0{,}8333\ldots = 0{,}8\overline{3}\) L. Das ist ein gemischt periodischer Dezimalbruch: erst die 8 ohne Wiederholung, dann die Periode 3. Jeder Becher bekommt etwa 833 mL — genau abmessen kann man das nicht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Regel: Ein vollständig gekürzter Bruch ergibt genau dann einen abbrechenden Dezimalbruch, wenn der Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 hat.

\(\tfrac54\): \(4=2\cdot2\) → abbrechend (1,25 L). \(\tfrac5{10}=\tfrac12\): \(2\) → abbrechend (0,5 L). \(\tfrac5{16}\): \(16=2\cdot2\cdot2\cdot2\) → abbrechend (0,3125 L). \(\tfrac5{25}=\tfrac15\) → abbrechend (0,2 L).

\(\tfrac57\): Primfaktor 7 → periodisch. \(\tfrac5{15}=\tfrac13\): Der Faktor 5 fällt beim Kürzen weg, die 3 bleibt → periodisch.

Abbrechend bei 4, 10, 16 und 25 Kindern; periodisch bei 7 und 15 Kindern.

2

Ein Geschenk für Frau Berger

AFB II–III

Die 24 Kinder der Klasse 6a wollen ihrer Klassenlehrerin Frau Berger zum Abschied ein Buch schenken. Es kostet 25 €. Jedes Kind soll genau gleich viel bezahlen.

Leon rechnet mit dem Handy nach und sagt: „Das geht nicht auf, da kommen unendlich viele Stellen.“ Mira schlägt vor, dass jedes Kind 1,04 € gibt. Jonas findet 1,05 € besser.

  1. Ermittle durch schriftliche Division den genauen Betrag pro Kind als Dezimalbruch. Setze den Periodenstrich richtig.
  2. In der Parallelklasse soll dasselbe Geschenk gekauft werden, dort ist die Kinderzahl aber noch nicht bekannt — sie liegt zwischen 20 und 30. Untersuche, bei welchen Kinderzahlen sich die 25 € ohne Periode aufteilen lassen und wie viel dann jedes Kind zahlt.
  3. Beurteile die Vorschläge von Mira und Jonas für die Klasse 6a.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Beginne mit \(25:24=1\) Rest 1. Hänge an jeden Rest eine 0 an und notiere alle Reste.
Hinweis zu Aufgabe b)
Schreibe \(\tfrac{25}{n}\) für jede Kinderzahl \(n\) von 20 bis 30, kürze vollständig und prüfe die Primfaktoren des Nenners.
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne in Cent: Wie viel kommt bei 24 · 104 ct und bei 24 · 105 ct zusammen? Kriterien: Reicht das Geld? Wie groß ist die Abweichung? Was passiert mit einem Rest?Beurteilen heißt: beide Vorschläge prüfen und begründet sagen, welcher besser ist.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(25:24=1\) Rest 1; \(10:24=0\) Rest 10; \(100:24=4\) Rest 4; \(40:24=1\) Rest 16; \(160:24=6\) Rest 16; \(160:24=6\) Rest 16 …

Der Rest 16 kommt wieder, ab dort wiederholt sich die 6: \(\tfrac{25}{24}=1{,}041666\ldots=1{,}041\overline{6}\) €. Der Strich steht nur über der 6 (gemischt periodisch).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\tfrac{25}{n}\) bricht nur ab, wenn der gekürzte Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 hat.

\(n=20\): \(\tfrac{25}{20}=\tfrac54\), \(4=2\cdot2\) → 1,25 €. \(n=25\): \(\tfrac{25}{25}=1\) → 1,00 €.

Alle anderen Zahlen haben nach dem Kürzen einen Primfaktor 3, 7, 11, 13, 23 oder 29: 21 = 3 · 7, 22 = 2 · 11, 23, 24 = 2 · 2 · 2 · 3, 26 = 2 · 13, 27 = 3 · 3 · 3, 28 = 2 · 2 · 7, 29, \(\tfrac{25}{30}=\tfrac56\) mit 6 = 2 · 3.

Nur bei 20 Kindern (je 1,25 €) und bei 25 Kindern (je 1 €) geht es ohne Periode auf.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mira: 24 · 104 ct = 2496 ct = 24,96 €. Es fehlen 4 ct — das Buch kann so nicht bezahlt werden.

Jonas: 24 · 105 ct = 2520 ct = 25,20 €. Das reicht, es bleiben 20 ct übrig.

Urteil: Jonas’ Vorschlag ist besser, weil der genaue Betrag \(1{,}041\overline{6}\) € zwischen 1,04 € und 1,05 € liegt und nur das Aufrunden sicher genug Geld ergibt. Die 20 ct Überschuss sind gering (weniger als 1 ct pro Kind) und können z. B. für eine Karte verwendet werden. Auch begründet vertretbar: 20 Kinder zahlen 1,04 €, 4 Kinder zahlen 1,05 € — dann kommen genau 25,00 € zusammen, aber nicht alle zahlen gleich viel. Eine vollständige Antwort rechnet beide Vorschläge nach und bezieht sich auf die Bedingung „genug Geld und möglichst gerecht“.