MINT lernen

Abbrechend und periodisch

Warum hört \(3:8\) nach drei Stellen auf, während \(1:3\) für immer weiterläuft?

1

Der Bruchstrich ist ein Geteilt

Jeder Bruch ist eine Division: Zähler geteilt durch Nenner.

  • Bruchstrich:\(\tfrac38\) bedeutet \(3:8\).
  • Komma setzen:\(3:8\) ergibt 0 Ganze. Setze das Komma und rechne mit Zehnteln weiter: 3 Ganze sind 30 Zehntel.
  • Null anhängen:An jeden Rest hängst du eine 0 an und teilst weiter.
  • Abbrechend:Bleibt irgendwann der Rest 0, ist die Rechnung fertig.
Herleitung:
\(3:8=0\ \text{Rest}\ 3\)
Ganze
Keine ganze 8 passt in 3 — also 0 Ganze, dann das Komma.
\(30:8=3\ \text{Rest}\ 6\)
Zehntel
Rest 3 mit angehängter 0: 30 Zehntel. Die 3 wird die erste Stelle nach dem Komma.
\(60:8=7\ \text{Rest}\ 4\)
Hundertstel
Rest 6 mit angehängter 0: 60 Hundertstel.
\(40:8=5\ \text{Rest}\ 0\)
Tausendstel
Rest 0 — die Division bricht ab.
\(\dfrac38=3:8=0{,}375\)
Ergebnis
Die Ziffern 3, 7, 5 stehen der Reihe nach hinter dem Komma.
Merke

Bruch als Division: \(\dfrac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}=\text{Zähler}:\text{Nenner}\)

2

Wenn Reste wiederkommen

Taucht ein Rest zum zweiten Mal auf, wiederholen sich ab dort alle Ziffern — ohne Ende.

  • Periode:der Ziffernblock, der sich immer wiederholt. Man schreibt einen Strich darüber: \(\tfrac13=0{,}333\ldots=0{,}\overline{3}\).
  • Rein periodisch:Die Periode beginnt direkt hinter dem Komma: \(\tfrac{2}{11}=0{,}\overline{18}\).
  • Gemischt periodisch:Erst kommen Ziffern ohne Wiederholung, dann die Periode: \(\tfrac56=0{,}8\overline{3}\).
  • Warum?Beim Teilen durch 6 gibt es nur die Reste 0 bis 5. Nach wenigen Schritten muss ein Rest wiederkommen — oder der Rest ist 0.
  • Vorher erkennen:Bruch vollständig kürzen, Nenner in Primfaktoren zerlegen: \(20=2\cdot2\cdot5\) → abbrechend, \(12=2\cdot2\cdot3\) → periodisch.
Merke

Abbrechend oder periodisch: Ein vollständig gekürzter Bruch ergibt genau dann einen abbrechenden Dezimalbruch, wenn sein Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 hat. Sonst ist der Dezimalbruch periodisch.

Stelle Zähler und Nenner ein und rechne die Division Schritt für Schritt — mit „▶ Schritt“ oder „Abspielen“. Beobachte die Reste: Rechts siehst du, welche Reste beim Teilen überhaupt möglich sind.

Reste-Detektor

Halte fest: Beim Teilen durch \(n\) gibt es nur \(n\) mögliche Reste. Deshalb endet jede Division mit Rest 0 — oder ein Rest kommt wieder und die Ziffern wiederholen sich.

3

Allgemeine Hinweise

Erst kürzen, dann den Nenner prüfen

\(\tfrac{3}{15}\) sieht wegen der 3 im Nenner periodisch aus. Gekürzt ist es aber \(\tfrac15=0{,}2\) — abbrechend.

Den Strich richtig setzen

Der Strich steht nur über den Ziffern, die sich wiederholen: \(0{,}1\overline{6}=0{,}1666\ldots\), aber \(0{,}\overline{16}=0{,}1616\ldots\)

Nicht nach Gefühl aufhören

Rechne so lange, bis der Rest 0 ist oder ein Rest wiederkommt. Erst dann weißt du, ob der Dezimalbruch abbricht und wie lang die Periode ist.

Videos