Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Regeln erklären, Fehler finden und Aussagen beurteilen. Formuliere erst eigene Sätze, dann klappe die Musterlösung auf.
Erkläre, warum man mit nur zehn Ziffern jede noch so große Zahl schreiben kann.
Hinweis: Denke an die Stellenwerttafel.
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Musterlösung: Im Zehnersystem bestimmt die Stelle den Wert einer Ziffer. Jede Stelle ist zehnmal so viel wert wie die rechts daneben. Reichen die Stellen nicht, hängt man links eine weitere an — so gibt es unbegrenzt viele Stellen. Bei römischen Zahlen hat jedes Zeichen einen festen Wert, deshalb braucht man für größere Zahlen immer neue Zeichen.
Bilde aus den Ziffern \(0, 3, 5, 8, 9\) (jede genau einmal) die größte und die kleinste fünfstellige Zahl und begründe.
Hinweis: Eine Zahl beginnt nie mit \(0\).
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Musterlösung: Die größte Zahl ist \(98\,530\): Die höchste Stelle bekommt die größte Ziffer, dann absteigend. Die kleinste ist \(30\,589\): Die \(0\) darf nicht vorn stehen, sonst wäre die Zahl nur vierstellig. Also kommt die \(3\) nach vorn, dann die \(0\) und aufsteigend der Rest.
Beurteile Tims Vorgehen: „\(4\,449\) runde ich erst auf Zehner, dann auf Hunderter, dann auf Tausender. So erhalte ich \(5\,000\).“
Hinweis: Runde \(4\,449\) direkt auf Tausender.
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Musterlösung: Tims Vorgehen ist falsch. Beim Runden auf Tausender entscheidet nur die Hunderterziffer \(4\): abrunden auf \(4\,000\). Beim schrittweisen Runden wird jedes Mal ein kleiner Fehler nach oben gemacht; zusammen entsteht ein großer. \(4\,449\) liegt näher an \(4\,000\) als an \(5\,000\).
Ben rechnet \(6\,002-1\,457=5\,455\). Finde den Fehler und korrigiere die Rechnung.
Hinweis: Mache die Probe mit der Addition.
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Musterlösung: Ben hat in jeder Spalte die kleinere von der größeren Ziffer abgezogen (\(7-2=5\), \(5-0=5\), …). Richtig ist: Bei den Einern von \(7\) bis \(12\) ergänzen: \(5\), Übertrag \(1\); Zehner: \(5+1=6\), bis \(10\): \(4\), Übertrag \(1\); Hunderter: \(4+1=5\), bis \(10\): \(5\), Übertrag \(1\); Tausender: \(1+1=2\), bis \(6\): \(4\). Ergebnis \(4\,545\), Probe: \(4\,545+1\,457=6\,002\).
Begründe ohne schriftliche Rechnung, dass \(49\cdot51=2\,499\) stimmt.
Hinweis: Nutze die Zahl \(50\).
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Musterlösung: Mit dem Distributivgesetz: \(49\cdot51=49\cdot(50+1)=49\cdot50+49\cdot1=2\,450+49=2\,499\). Der Überschlag \(50\cdot50=2\,500\) passt ebenfalls.
Untersuche, ob das Vertauschungsgesetz auch für die Division gilt.
Hinweis: Teste mit Beispielen.
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Musterlösung: Das Gesetz gilt nicht: \(12:3=4\), aber \(3:12\) ergibt nicht \(4\) — mit natürlichen Zahlen geht diese Division nicht einmal auf. Nur wenn beide Zahlen gleich sind, ergibt sich dasselbe. Ein Gegenbeispiel genügt, um zu zeigen, dass es kein Rechengesetz ist.
Begründe mit einem Punktfeld, dass \(6\cdot14=6\cdot10+6\cdot4\) gilt.
Hinweis: Zeichne \(6\) Reihen mit je \(14\) Punkten.
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Musterlösung: Das Punktfeld mit \(6\) Reihen zu je \(14\) Punkten enthält \(6\cdot14\) Punkte. Schneidet man es nach der zehnten Spalte, entstehen zwei Felder mit \(6\cdot10=60\) und \(6\cdot4=24\) Punkten. Beim Schneiden geht kein Punkt verloren, also gilt \(6\cdot14=60+24=84\).
Anna schreibt: \(100:7=13\) Rest \(9\). Beurteile ihr Ergebnis.
Hinweis: Vergleiche den Rest mit dem Divisor.
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Musterlösung: Die Probe \(13\cdot7+9=100\) stimmt zwar, aber der Rest \(9\) ist größer als der Divisor \(7\). Die \(7\) passt also noch einmal hinein. Richtig: \(100:7=14\) Rest \(2\), denn \(14\cdot7+2=100\) und \(2<7\).
Setze in \(3+4\cdot5-2\) Klammern so, dass a) \(33\) und b) \(15\) herauskommt.
Hinweis: Ohne Klammern ergibt sich \(3+20-2=21\).
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Musterlösung: a) \((3+4)\cdot5-2=7\cdot5-2=35-2=33\): Die Plusrechnung muss vor der Malrechnung kommen. b) \(3+4\cdot(5-2)=3+4\cdot3=3+12=15\): Die Minusrechnung muss vor der Malrechnung kommen.
Begründe ohne vollständige Rechnung, dass \(3\,457\cdot26=89\,883\) falsch ist.
Hinweis: Ein Überschlag hilft hier nicht — er liefert ungefähr \(90\,000\).
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Musterlösung: Die Einerziffer eines Produkts hängt nur von den Einerziffern der Faktoren ab: \(7\cdot6=42\), also endet \(3\,457\cdot26\) auf \(2\). \(89\,883\) endet auf \(3\) und kann nicht stimmen. Richtig ist \(89\,882\).