Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Aussagen prüfen, Fehler finden, ein Vorgehen entwickeln und eigene Begründungen formulieren — erst selbst aufschreiben, dann die Musterlösung aufklappen.
Beurteile die Aussage: „Zwei Rechtecke mit demselben Umfang haben auch denselben Flächeninhalt.“
Hinweis: Probiere Rechtecke mit dem Umfang 20 cm aus.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Ein Rechteck mit 9 cm und 1 cm hat \(u=2\cdot9+2\cdot1=20\) cm und \(A=9\ \text{cm}^2\); ein Quadrat mit 5 cm Seite hat ebenfalls \(u=20\) cm, aber \(A=25\ \text{cm}^2\). Umfang und Flächeninhalt sind verschiedene Größen. Bei gleichem Umfang hat das Quadrat den größten Flächeninhalt.
Begründe, warum ein Quadrat mit doppelter Seitenlänge den vierfachen Flächeninhalt hat.
Hinweis: Lege das große Quadrat mit kleinen Quadraten aus.
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Musterlösung: Verdoppelt man die Seite, werden sowohl die Anzahl der Kästchen je Reihe als auch die Anzahl der Reihen doppelt so groß. Damit sind es \(2\cdot2=4\)-mal so viele Kästchen: \((2a)\cdot(2a)=4\cdot a\cdot a\). Beispiel: 2 cm → 4 cm², 4 cm → 16 cm².
Ein Würfel hat die Kante 2 cm. Untersuche, wie sich Oberfläche und Volumen ändern, wenn die Kante verdoppelt wird.
Hinweis: Rechne beide Würfel aus und vergleiche.
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Musterlösung: Für \(a=2\) cm: \(O=6\cdot4=24\ \text{cm}^2\), \(V=8\ \text{cm}^3\). Für \(a=4\) cm: \(O=6\cdot16=96\ \text{cm}^2\), \(V=64\ \text{cm}^3\). Die Oberfläche wird 4-mal, das Volumen sogar 8-mal so groß — in jede Richtung passen doppelt so viele Würfel: \(2\cdot2\cdot2=8\).
Tim rechnet: „3 m² = 30 dm², denn 1 m = 10 dm.“ Überprüfe Tims Rechnung und erkläre seinen Fehler.
Hinweis: Denk an das Quadrat mit 1 m Seitenlänge.
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Musterlösung: Tims Ergebnis ist falsch. Er hat die Umrechnungszahl der Längen (10) benutzt. Ein Quadratmeter ist ein Quadrat mit 10 dm Seitenlänge, darin liegen 10 Reihen mit je 10 dm² — also 100 dm². Richtig ist \(3\ \text{m}^2=300\ \text{dm}^2\).
Für ein rechteckiges Kaninchengehege gibt es 20 m Zaun. Entwickle ein Vorgehen, mit dem du das Gehege mit der größten Fläche findest, und gib es an.
Hinweis: Nur ganze Meter als Seitenlängen.
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Musterlösung: Aus \(2\cdot a+2\cdot b=20\) folgt \(a+b=10\). Die Tabelle aller Möglichkeiten mit ganzen Metern: 9 · 1 = 9, 8 · 2 = 16, 7 · 3 = 21, 6 · 4 = 24, 5 · 5 = 25 (in m²). Das Quadrat mit 5 m Seite hat mit \(25\ \text{m}^2\) die größte Fläche.
Lara sagt: „Der Ausflug dauert 1,5 Stunden, also 1 h 50 min.“ Widerlege ihre Aussage.
Hinweis: Wie viele Minuten hat eine halbe Stunde?
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Musterlösung: Eine halbe Stunde sind \(60:2=30\) min. Also gilt \(1{,}5\ \text{h}=1\ \text{h}\ 30\ \text{min}=90\ \text{min}\). Lara hat so gerechnet, als hätte eine Stunde 100 Minuten.
Eine Holzkiste (60 cm × 40 cm × 30 cm, mit Deckel) soll außen gestrichen werden. Eine Dose Farbe reicht für 1 m². Bewerte die Aussage: „Eine Dose reicht.“
Hinweis: Oberfläche in cm² berechnen, dann in m² umrechnen.
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Musterlösung: Die Oberfläche ist \(2\cdot60\cdot40+2\cdot60\cdot30+2\cdot40\cdot30=4800+3600+2400=10\,800\ \text{cm}^2=1{,}08\ \text{m}^2\). Das ist mehr als \(1\ \text{m}^2\) — eine Dose reicht knapp nicht. Streicht man den Boden nicht, sind es nur \(8400\ \text{cm}^2\), dann reicht sie.
Zeige, dass in einen Würfel mit 1 m Kantenlänge genau 1000 Liter Wasser passen.
Hinweis: 1 l = 1 dm³.
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Musterlösung: Die Kante ist \(1\ \text{m}=10\ \text{dm}\). Damit ist \(V=10\ \text{dm}\cdot10\ \text{dm}\cdot10\ \text{dm}=1000\ \text{dm}^3\). Da \(1\ \text{dm}^3=1\ \text{l}\), passen genau \(1000\) Liter hinein.
Jonas zerlegt eine L-Figur in zwei Rechtecke, Emma ergänzt sie zu einem großen Rechteck. Erkläre, warum beide denselben Flächeninhalt erhalten müssen.
Hinweis: Was passiert mit den Kästchen beim Zerlegen und beim Ergänzen?
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Musterlösung: Der Flächeninhalt ist die Anzahl der Einheitsquadrate in der Figur. Beim Zerlegen gehört jedes Quadrat zu genau einem Teilrechteck, es wird also genau einmal gezählt. Beim Ergänzen werden die Quadrate der fehlenden Ecke erst mitgezählt und dann wieder abgezogen. In beiden Fällen bleibt dieselbe Anzahl übrig.
Schätze ab, ob ein Klassenzimmer eine Fläche von 1 ha haben kann, und nimm Stellung.
Hinweis: 1 ha ist ein Quadrat mit 100 m Seitenlänge.
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Musterlösung: Ein Klassenraum ist etwa 9 m lang und 7 m breit, also rund \(63\ \text{m}^2\) groß. Ein Hektar sind \(10\,000\ \text{m}^2\) — mehr als 150-mal so viel, etwas mehr als ein Fußballfeld. Ein Klassenzimmer von 1 ha ist also unmöglich; die passende Einheit ist m², höchstens a.