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Würfel und Quader

Ein Geschenkband und ein Aquarium: Bei beiden kommt es darauf an, die richtigen Kanten zu zählen.

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Das Geschenk mit Schleife

AFB I–II

Jonas verpackt ein Geburtstagsgeschenk in einem Karton, der 30 cm lang, 20 cm breit und 10 cm hoch ist. Er bindet ein Geschenkband über Kreuz: einmal der Länge nach um den Karton und einmal der Breite nach, jeweils über Deckel und Boden. Für die Schleife braucht er zusätzlich 25 cm Band.

Geschenkkarton mit Band
30 cm20 cm10 cm
Das Band läuft einmal der Länge nach und einmal der Breite nach ganz um den Karton.
  1. Nenne die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen des Kartons. Gib außerdem an, wie viele Kanten 30 cm lang sind.
  2. Berechne die Länge des Geschenkbands, die Jonas insgesamt braucht.
  3. Jonas’ Schwester meint: „Man braucht so viel Band, wie alle Kanten zusammen lang sind.“ Vergleiche die Bandlänge ohne Schleife mit der Gesamtlänge aller Kanten und erkläre den Unterschied.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Denke auch an die Ecken und Kanten, die du im Bild nicht siehst.
Hinweis zu Aufgabe b)
Eine Runde der Länge nach führt über Deckel, eine Seitenwand, Boden und die andere Seitenwand: 30 + 10 + 30 + 10. Wie sieht die Runde der Breite nach aus?
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne für alle Kanten 4 · 30 + 4 · 20 + 4 · 10. Über welche Teile des Kartons läuft das Band — über Kanten oder über Flächen?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

8 Ecken, 12 Kanten, 6 Flächen. 4 Kanten sind 30 cm lang (je 4 Kanten sind gleich lang).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Länge nach: 30 + 10 + 30 + 10 = 80 cm. Breite nach: 20 + 10 + 20 + 10 = 60 cm. Mit Schleife: 80 + 60 + 25 = 165 cm. Jonas braucht 165 cm Band.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Alle Kanten: 4 · 30 + 4 · 20 + 4 · 10 = 240 cm. Das Band ohne Schleife ist nur 140 cm lang, also 100 cm kürzer. Das Band läuft über die Flächen: Jede Runde enthält nur zweimal die Länge (bzw. Breite) und zweimal die Höhe, insgesamt 2 · 30 + 2 · 20 + 4 · 10 = 140 cm. Ein Kantenmodell braucht dagegen jede der 12 Kanten, also jede Kantenlänge viermal. Die Behauptung der Schwester stimmt daher nicht.

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Ein Aquarium ohne Deckel

AFB II–III

Frau Yilmaz baut für den Biologieraum ein quaderförmiges Aquarium: 60 cm lang, 30 cm tief und 40 cm hoch. Es ist oben offen. Die Glasscheiben werden dort, wo zwei Scheiben aneinanderstoßen, mit einer Naht aus Silikon verklebt. Eine Tube Silikon reicht für 2 m Naht.

Aquarium (oben offen)
60 cm40 cm30 cm
Die Kanten am oberen Rand gehören jeweils nur zu einer Glasscheibe.
  1. Ermittle, aus wie vielen Glasscheiben das Aquarium besteht und wie viele Klebenähte nötig sind.
  2. Bestimme die Gesamtlänge aller Klebenähte und die Anzahl der Silikontuben, die Frau Yilmaz kaufen muss.
  3. Lina sagt: „Ein würfelförmiges Aquarium mit 45 cm Kantenlänge, auch oben offen, braucht weniger Silikon.“ Nimm Stellung zu Linas Aussage.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Ein Quader hat 6 Flächen und 12 Kanten. Welche Fläche fehlt? An welchen Kanten stoßen dann gar keine zwei Scheiben mehr aneinander?
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Nähte liegen am Boden (Länge und Tiefe) und an den senkrechten Kanten. 1 Tube reicht für 200 cm.
Hinweis zu Aufgabe c)
Zähle auch beim Würfel nur die Kanten, an denen zwei Scheiben aneinanderstoßen, und vergleiche die Längen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ohne Deckel: 5 Scheiben (Boden + 4 Wände). Von den 12 Kanten fallen die 4 oberen Randkanten weg, weil dort nur eine Scheibe ist: 8 Klebenähte.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Boden: 2 · 60 + 2 · 30 = 180 cm. Senkrecht: 4 · 40 = 160 cm. Zusammen 340 cm. 340 cm : 200 cm = 1,7 — sie muss also 2 Tuben kaufen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Würfel ohne Deckel: ebenfalls 8 Nähte, jede 45 cm lang: 8 · 45 = 360 cm. Das ist mehr als 340 cm. Lina hat also nicht recht. Vollständig ist die Antwort, wenn beide Nahtlängen berechnet, verglichen und in einem Urteil zusammengefasst werden. Der Eindruck „Würfel = kleiner“ täuscht, weil beim Würfel alle Nähte gleich lang sind.