Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Netze prüfen, Fehler finden, eigene Figuren entwerfen und Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Im Heft steht: „Jeder Würfel ist ein Quader, aber nicht jeder Quader ist ein Würfel.“ Begründe beide Teile dieser Aussage.
Hinweis: Vergleiche, was für einen Quader verlangt wird und was ein Würfel zusätzlich erfüllen muss.
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Musterlösung: Ein Quader hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 rechteckige Flächen, von denen gegenüberliegende gleich groß sind. Ein Würfel erfüllt all das: Seine 6 Quadrate sind besondere Rechtecke, und alle 12 Kanten sind gleich lang. Also ist jeder Würfel ein Quader. Umgekehrt muss beim Würfel jede Kante gleich lang sein. Ein Schuhkarton mit 30 cm, 20 cm und 12 cm ist ein Quader, aber kein Würfel. Deshalb ist nicht jeder Quader ein Würfel.
Paul hat die abgebildete Figur aus sechs Quadraten ausgeschnitten und sagt: „Sechs gleiche Quadrate — das ist ein Würfelnetz.“ Überprüfe Pauls Aussage.
Hinweis: Falte in Gedanken: Die Reihe 1–2–3–4 wird zum Mantel rundherum. Wohin klappen 5 und 6?
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Musterlösung: Pauls Aussage ist falsch. Sechs gleiche Quadrate sind nötig, reichen aber nicht. Faltet man die Reihe 1–2–3–4 zu den vier Seitenwänden, klappen die Quadrate 5 und 6 beide auf dieselbe Seite nach oben. Sie liegen dann doppelt als Deckel übereinander, und unten bleibt ein Loch. Ein Würfelnetz braucht an der Viererreihe genau ein Quadrat oben und eines unten.
Die Figur besteht aus fünf Quadraten. Ein sechstes Quadrat soll so angelegt werden, dass ein Würfelnetz entsteht. Lege dich fest, an welchen Stellen das möglich ist, und begründe, warum alle anderen Stellen nicht gehen.
Hinweis: D ist schon der Deckel. Welche Fläche des Würfels fehlt noch?
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Musterlösung: Die Reihe 1–2–3–4 bildet die vier Seitenwände, D wird der Deckel. Es fehlt nur noch der Boden. Den Boden bekommt man, wenn man das sechste Quadrat unter eines der Quadrate 1, 2, 3 oder 4 legt — das sind 4 mögliche Stellen. Legt man es über 1, 3 oder 4, entsteht ein zweiter Deckel. Links von 1 oder rechts von 4 entsteht eine fünfte Seitenwand, die über Wand 4 bzw. Wand 1 liegt. Legt man es über D, klappt es auf die Seitenwand 4, die schon belegt ist. Alle diese Stellen ergeben kein Würfelnetz.
Lina hat einen Quader mit 4 cm Länge, 2 cm Höhe und 3 cm Tiefe im Schrägbild gezeichnet (Skizze). Beurteile ihre Zeichnung: Nenne alle Fehler und beschreibe, wie es richtig geht.
Hinweis: Prüfe die Länge der schrägen Kanten und die Art, wie die Kanten gezeichnet sind.
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Musterlösung: Die Vorderfläche ist richtig in wahrer Größe (4 cm × 2 cm) gezeichnet, und die Kanten nach hinten verlaufen richtig unter 45°. Es gibt aber zwei Fehler: Erstens hat Lina die Tiefe in voller Länge (3 cm) gezeichnet; richtig ist die halbe Länge, also 1,5 cm. Dadurch wirkt der Quader viel zu tief. Zweitens sind alle Kanten durchgezogen. Die drei Kanten, die sich in der hinteren unteren linken Ecke treffen, sind verdeckt und müssen gestrichelt werden.
Tim behauptet: „Wenn g ⊥ h und h ⊥ k gilt, dann ist auch g ⊥ k.“ Widerlege Tims Behauptung mit einer Skizze und einer Begründung.
Hinweis: Zeichne h waagerecht und prüfe, wie g und k dann liegen müssen.
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Musterlösung: Zeichne h als waagerechte Gerade. Weil g ⊥ h ist, verläuft g senkrecht zu h. Weil auch k ⊥ h ist, verläuft k ebenfalls senkrecht zu h. Damit laufen g und k in dieselbe Richtung und schneiden sich nie: Es gilt g ∥ k. Zwei parallele Geraden bilden keinen rechten Winkel, also ist g ⊥ k falsch. Tims Behauptung ist widerlegt.
Mia und Ben sollen den Abstand des Punktes P von der Geraden g messen. Mia misst die Strecke PQ und erhält 5 cm, Ben misst PF und erhält 3 cm. Bewerte die beiden Messungen.
Hinweis: Welche Eigenschaft hat die Strecke, die den Abstand angibt?
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Musterlösung: Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die Länge der kürzesten Verbindung, und diese steht senkrecht auf der Geraden. Ben hat die Strecke PF gemessen, die im rechten Winkel auf g trifft. Seine Messung ist richtig: Der Abstand beträgt 3 cm. Mia hat eine schräge Strecke gemessen. Jede schräge Verbindung ist länger als die senkrechte, deshalb sind ihre 5 cm nicht der Abstand.
Lea möchte einen Kreis mit dem Radius r = 3 cm in ein Quadrat mit 5 cm Seitenlänge zeichnen, ohne dass der Kreis über den Rand ragt. Sie meint: „3 cm ist doch kleiner als 5 cm, das passt.“ Nimm Stellung zu Leas Überlegung.
Hinweis: Wie breit ist der Kreis von einem Rand zum anderen?
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Musterlösung: Lea vergleicht die falschen Größen. Der Kreis reicht vom Mittelpunkt aus 3 cm nach links und 3 cm nach rechts, er ist also so breit wie sein Durchmesser: d = 2 · 3 cm = 6 cm. Das Quadrat ist aber nur 5 cm breit. Deshalb passt der Kreis nicht hinein. Damit er passt, darf sein Durchmesser höchstens 5 cm sein, also der Radius höchstens 2,5 cm.
Die Punkte A(2 | 1) und B(6 | 1) sind zwei benachbarte Ecken eines Quadrats ABCD. Zeige, dass es im Koordinatensystem (nur 1. Quadrant, also keine negativen Koordinaten) genau ein solches Quadrat gibt, und gib die Ecken C und D an.
Hinweis: Die Seiten BC und AD stehen senkrecht auf AB. In welche zwei Richtungen könnte man sie zeichnen?
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Musterlösung: A und B haben denselben y-Wert, also liegt AB waagerecht und ist 6 − 2 = 4 Einheiten lang. Die Seiten BC und AD stehen senkrecht auf AB und sind auch 4 Einheiten lang. Zeichnet man sie nach oben, erhält man C(6 | 5) und D(2 | 5). Zeichnet man sie nach unten, müsste man von y = 1 um 4 Einheiten nach unten gehen und käme unter die x-Achse — das ist im 1. Quadranten nicht möglich. Also gibt es genau ein Quadrat: A(2 | 1), B(6 | 1), C(6 | 5), D(2 | 5).
Entwickle eine Figur, die genau zwei Symmetrieachsen hat. Zeichne sie, trage die Achsen ein und begründe, warum es nicht mehr als zwei Achsen sind.
Hinweis: Denke an das Quadrat mit seinen vier Achsen. Was musst du ändern, damit zwei davon verschwinden?
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Musterlösung: Eine passende Figur ist ein Rechteck, das 6 cm lang und 3 cm breit ist. Die senkrechte Mittellinie ist eine Symmetrieachse, denn die linke und die rechte Hälfte passen beim Falten genau aufeinander. Dasselbe gilt für die waagerechte Mittellinie. Faltet man an einer Diagonale, liegt eine 6-cm-Seite auf einer 3-cm-Seite, und Ecken stehen über — die Diagonalen sind also keine Achsen. Weil das Rechteck kein Quadrat ist, hat es genau 2 Symmetrieachsen. (Auch eine Raute, die kein Quadrat ist, oder der Buchstabe H sind richtig.)
Von einer Spiegelung kennst du nur den Punkt P(1 | 2) und seinen Bildpunkt P′(7 | 2). Formuliere eine Anleitung, wie man die Spiegelachse findet, und wende sie hier an.
Hinweis: Was weißt du über die Strecke PP′ und die Achse — Lage und Abstände?
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Musterlösung: Anleitung: 1. Verbinde P und P′. 2. Bestimme die Mitte der Strecke PP′. 3. Zeichne durch diese Mitte die Senkrechte zu PP′ — das ist die Spiegelachse. Begründung: Beim Spiegeln steht PP′ senkrecht auf der Achse, und P und P′ sind gleich weit von ihr entfernt, also geht die Achse durch die Mitte. Hier ist PP′ waagerecht und 7 − 1 = 6 Einheiten lang. Die Mitte liegt 3 Einheiten rechts von P bei (4 | 2). Die Achse ist die senkrechte Gerade durch (4 | 0).