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Übungsaufgaben
Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IFünf Behauptungen über Punkt und Bildpunkt beim Spiegeln an einer Achse g.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Alles hängt an zwei Regeln: Die Strecke PP′ steht senkrecht auf g, und g halbiert sie. Daraus folgt, dass Punkte auf g liegen bleiben, dass doppeltes Spiegeln zurückführt und dass die Größe erhalten bleibt.
Zeichne dir zu jeder Aussage eine Achse g und einen Punkt P auf Karopapier.
Denk an die zwei Regeln: PP′ steht senkrecht auf g, und g halbiert PP′.
A2
Mix mit 3.3.1 — Bildpunkte ohne Zeichnung
AFB IDie Spiegelachse g ist die senkrechte Gerade durch die Punkte (5 | 0) und (5 | 10). Bestimme die Koordinaten der Bildpunkte, ohne zu zeichnen — stell dir das Koordinatensystem vor.
Trage alle Werte ein und prüfe dann die ganze Tabelle — Enter in einem Feld prüft ebenfalls.
| Punkt → Bildpunkt | x | y |
|---|---|---|
| P(2 | 3) → P′ | ||
| Q(7 | 6) → Q′ | ||
| R(5 | 9) → R′ | ||
| S(0 | 1) → S′ |
An einer senkrechten Achse ändert sich nur die x-Koordinate. P liegt 3 Kästchen links von g, also liegt P′ 3 Kästchen rechts davon: x = 5 + 3 = 8. R liegt auf g und bleibt, wo er ist. Typische Fehler: auch die y-Koordinate verändern — oder die 3 Kästchen ab P statt ab g abzählen und bei x = 5 landen.
Stell dir die senkrechte Achse bei x = 5 vor. Welche Koordinate ändert sich beim Spiegeln?
Zähle, wie weit der Punkt links oder rechts von x = 5 liegt, und trage genauso weit auf der anderen Seite ab.
A3
Die Achse zurückfinden
AFB IDer Punkt P(2 | 6) wurde an einer senkrechten Achse g gespiegelt. Sein Bildpunkt ist P′(10 | 6). Wo liegt g?
Löse die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Wie viele Kästchen liegen P und P′ auseinander? Kästchen
- Wie weit ist P von der Achse g entfernt? Kästchen
- Bei welchem x-Wert verläuft die Achse g?
- Q(3 | 1) wird an derselben Achse gespiegelt. Welche x-Koordinate hat Q′?
Die Achse liegt genau in der Mitte zwischen P und P′: 8 Kästchen Abstand, also 4 bis zur Achse, also x = 2 + 4 = 6. Typischer Fehler: die halbe Strecke 4 schon für den x-Wert der Achse halten — gezählt wird aber ab P. Im letzten Schritt liegt Q 3 Kästchen links von g, Q′ also 3 Kästchen rechts: x = 9.
Wo liegt die Achse im Verhältnis zu P und P′?
Die Achse liegt genau in der Mitte zwischen P und P′. Zähle ab P, nicht ab dem Ursprung.
A4
Spiegelschrift
AFB IIDu hältst einen Spiegel senkrecht neben ein Wort in Großbuchstaben (so wie ein Badezimmerspiegel). Wie sieht das Wort im Spiegel aus? Sortiere.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1genau gleich
2normale Buchstaben, andere Reihenfolge
3verkehrte Buchstaben
Im Spiegel passieren zwei Dinge gleichzeitig: Die Reihenfolge der Buchstaben kehrt sich um, und jeder Buchstabe wird selbst gespiegelt. ANNA und RENTNER sind die Fallen: Rückwärts gelesen bleiben sie gleich, aber N, R und E stehen im Spiegel verkehrt herum. Bei MAMA, OMA und AUTO sind alle Buchstaben symmetrisch, doch die Reihenfolge dreht sich um — aus OMA wird AMO. Nur wenn beides passt, sieht das Wort gleich aus.
Im Spiegel passieren zwei Dinge: Die Reihenfolge der Buchstaben ändert sich, und jeder Buchstabe wird selbst gespiegelt.
Prüfe zuerst jeden Buchstaben: Hat er eine senkrechte Achse? Lies dann das Wort rückwärts.
A5
Spiegeln an einer schrägen Achse
AFB IIDie blaue Gerade g verläuft schräg durch die Punkte (0 | 10) und (10 | 0). Spiegle das Dreieck ABC an g: Setze nacheinander A′, B′ und C′.
Klicke auf den gesuchten Gitterpunkt — oder wähle ihn mit Tab und den Pfeiltasten und setze ihn mit Enter. Der Kasten unter dem Bild zeigt die Koordinaten des Cursors.
Der Weg von A zu A′ steht senkrecht auf g — bei einer 45°-Achse läuft er also entlang der Kästchendiagonalen: von A(3 | 2) zweieinhalb Diagonalen bis zur Achse und zweieinhalb weiter bis A′(8 | 7). Der typische Fehler ist, waagerecht zur Achse zu gehen — dann landet man bei (13 | 2), also sogar außerhalb des Bildes. C liegt auf g und bleibt liegen: C′ = C.
Der Weg zum Bildpunkt steht senkrecht auf g — nicht waagerecht und nicht senkrecht zum Blatt.
Bei dieser 45°-Achse läuft der Weg entlang der Kästchendiagonalen. Zähle Diagonalschritte bis zu g und gleich viele weiter.
A6
Fehlersuche: Wer steht falsch?
AFB IIIn jedem Bild wurde das blaue Dreieck an der violetten Achse g gespiegelt. Genau ein orangefarbener Bildpunkt ist jeweils falsch. Klicke ihn an.
Klicke das gesuchte Element im Bild an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.
Drei typische Fehler: In Bild 1 ist B 1 Kästchen von g entfernt, B′ aber 2 Kästchen — der Abstand wurde ab B statt ab g gezählt. In Bild 2 ist C′ zur Seite gerutscht: Der Weg CC′ muss senkrecht auf g stehen, die x-Koordinate bleibt gleich. In Bild 3 wurde A waagerecht über die schräge Achse geschoben; richtig läge A′ auf der Kästchendiagonalen durch A, bei (3 | 1).
Miss in jedem Bild für alle drei Punkte den Abstand zu g und prüfe, ob der Weg senkrecht zu g steht.
Der falsche Punkt ist entweder zu weit weg oder zur Seite gerutscht — bei der schrägen Achse lohnt der Blick auf waagerechte Wege.
A7
Trickaufgabe — die Achse mitten in der Figur
AFB IIDas blaue Rechteck reicht von x = 2 bis x = 6. Es wird an der senkrechten Achse g bei x = 5 gespiegelt. Wie viele Kästchen breit ist die Gesamtfigur aus Rechteck und Bildrechteck zusammen?
Überlege selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Die Achse schneidet das Rechteck! Die linke Kante x = 2 liegt 3 Kästchen vor g, ihr Bild also bei x = 8; die rechte Kante x = 6 liegt 1 Kästchen hinter g, ihr Bild bei x = 4. Das Bildrechteck reicht von 4 bis 8 und überlappt das Original. Gesamtfigur: von 2 bis 8, also 6 Kästchen. Wer 8 rechnet, legt das Bild einfach neben das Original — als ob die Achse eine Figur nie schneiden dürfte.
Spiegle zuerst nur die linke und die rechte Kante des Rechtecks.
Wo liegt die linke Kante nach dem Spiegeln, wo die rechte? Liegen Original und Bild wirklich nebeneinander?
A8
Gespiegelt oder nur bewegt?
AFB IIIAlle sechs orangefarbenen Dreiecke sind deckungsgleich zum blauen Dreieck ABC. Welche davon können durch Spiegeln an einer Achse aus ABC entstanden sein? Achte auf die Beschriftung und den Umlaufsinn A → B → C.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
ABC läuft gegen den Uhrzeigersinn. Beim Spiegeln kehrt sich der Umlaufsinn um — also kommen nur Dreiecke mit A′ → B′ → C′ im Uhrzeigersinn in Frage: 1 (senkrechte Achse), 4 (waagerechte Achse) und 5 (schräge Achse). Dreieck 2 ist nur verschoben, Dreieck 3 gedreht. Dreieck 6 ist die Falle: Es steht „auf dem Kopf“ und sieht gespiegelt aus, wurde aber nur halb herumgedreht — sein Umlaufsinn ist gleich geblieben.
Fahre A → B → C mit dem Finger ab: im oder gegen den Uhrzeigersinn? Mach das bei jedem orangefarbenen Dreieck auch.
Beim Spiegeln kehrt sich der Umlaufsinn um, beim Verschieben und Drehen nie.
A9
Musterlösung: Achse zu P und P′
AFB IIIP(2 | 1) wurde an einer unbekannten Achse g gespiegelt, der Bildpunkt ist P′(6 | 5). Baue die Musterlösung, mit der man g findet — zwei Bausteine sind Fallen.
Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Die Achse steht senkrecht auf PP′ und geht durch die Mitte — beide Bedingungen zusammen legen g fest. Die Parallele durch M ist die häufigste Falle: Sie geht zwar durch die Mitte, aber P würde an ihr nicht auf P′ fallen. Hier läuft g schräg durch M(4 | 3), zum Beispiel auch durch (3 | 4) und (5 | 2).
Welche zwei Bedingungen muss die Achse erfüllen?
Sie geht durch die Mitte von PP′ und steht senkrecht darauf. Die Probe steht am Ende.
A10
Verschieben oder Spiegeln?
AFB IIIEine Figur wird entweder verschoben oder an einer Achse gespiegelt. Welche Aussage gilt nur für das Verschieben, welche nur für das Spiegeln, welche für beides?
Ordne jede Aussage einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 nur Verschieben
2 beides
3 nur Spiegeln
Überraschend für viele: „Alle PP′ sind parallel“ gilt für beides — beim Spiegeln stehen alle Verbindungsstrecken senkrecht auf g und sind deshalb zueinander parallel. Gleich lang sind sie aber nur beim Verschieben; beim Spiegeln ist PP′ umso länger, je weiter P von g entfernt ist. Das sicherste Unterscheidungsmerkmal bleibt der Umlaufsinn.
Stell dir für jede Aussage ein Beispiel vor: einmal verschieben, einmal spiegeln.
Denk bei den Verbindungsstrecken PP′ an ihre Richtung und an ihre Länge — das sind zwei verschiedene Fragen.