MINT lernen

Spiegeln an einer Achse

Minigolf-Profis zielen auf ein Loch, das es gar nicht gibt — und im Schulgarten führt ein schräger Weg in die Irre.

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Bandenschlag beim Minigolf

AFB I–II

Auf der Minigolfbahn liegt ein Hindernis genau zwischen dem Ball B(1 | 2) und dem Loch L(10 | 4). Jonas will den Ball deshalb gegen die obere Bande spielen, damit er von dort ins Loch rollt. Profis kennen einen Trick: Sie spiegeln das Loch an der Bande und zielen auf das Spiegelbild L′.

Minigolfbahn (1 Kästchen = 10 cm)
BandeBL012345678910110123456789
Grün: die Bahn. Braun: Hindernis. Violett: die obere Bande, sie verläuft durch (0 | 6) und (11 | 6).
  1. Gib die Koordinaten des Spiegelpunkts L′ an, wenn L an der oberen Bande gespiegelt wird.
  2. Ermittle zeichnerisch den Punkt T, an dem der Ball die Bande treffen muss, wenn Jonas genau auf L′ zielt.
  3. Erkläre mithilfe der Spiegelung, warum der Weg B → T → L genauso lang ist wie die Strecke von B nach L′.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Bande ist die Spiegelachse. Wie viele Kästchen liegt L unterhalb der Bande?
Hinweis zu Aufgabe b)
Verbinde B mit L′ durch eine gerade Linie. Wo schneidet sie die Bande?
Hinweis zu Aufgabe c)
T liegt auf der Spiegelachse. Was weißt du über die Abstände eines Punktes auf der Achse zu einem Punkt und dessen Bildpunkt?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

L(10 | 4) liegt 2 Kästchen unter der Bande. L′ liegt 2 Kästchen darüber, die x-Koordinate bleibt gleich: L′(10 | 8).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Strecke von B(1 | 2) nach L′(10 | 8) geht in Schritten von 3 nach rechts und 2 nach oben: (1 | 2) → (4 | 4) → (7 | 6). Sie trifft die Bande bei T(7 | 6). Der Weg B → T → L führt am Hindernis vorbei.

BandeL′(10 | 8)T(7 | 6)BL012345678910110123456789
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Spiegelt man die Strecke TL an der Bande, erhält man TL′: T liegt auf der Achse und bleibt liegen, L wird zu L′. Beim Spiegeln bleiben Längen erhalten, also ist TL = TL′. Damit gilt: BT + TL = BT + TL′ = BL′, denn B, T und L′ liegen auf einer geraden Linie. Der Ball „läuft“ hinter der Bande sozusagen im Spiegelbild weiter.

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Das Beet am schrägen Weg

AFB II–III

Im Schulgarten führt ein gerader Weg schräg durch das Beet. Links oberhalb des Weges hat die Klasse eine Rose R(2 | 6), einen Lavendel L(3 | 9) und eine Sonnenblume S(1 | 8) gepflanzt. Auf dem Weg steht eine Vogeltränke V(5 | 5). Die andere Seite des Beetes soll ein genaues Spiegelbild am Weg werden.

Plan des Schulgartens (1 Kästchen = 1 m)
WegRLSV012345678910012345678910
Der Weg verläuft von (0 | 0) nach (10 | 10). Grün: die bereits gepflanzten Pflanzen, V: Vogeltränke auf dem Weg.
  1. Bestimme die Koordinaten der Pflanzorte R′, L′ und S′ auf der anderen Seite.
  2. Ole schlägt vor: „Ich gehe von der Rose waagerecht nach rechts bis zum Weg und dann noch einmal genauso weit.“ Überprüfe Oles Vorschlag.
  3. Lena sagt: „Gehe ich links von R über L nach S, laufe ich gegen den Uhrzeigersinn. Rechts laufe ich von R′ über L′ nach S′ genauso gegen den Uhrzeigersinn.“ Nimm Stellung zu Lenas Aussage.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Der Weg zum Bildpunkt steht senkrecht auf dem Weg — hier läuft er also entlang der Kästchendiagonalen. Zähle die Diagonalschritte bis zum Weg und gleich viele dahinter.
Hinweis zu Aufgabe b)
Führe Oles Vorschlag für die Rose wirklich aus und vergleiche mit deinem Ergebnis aus a). Steht Oles Weg senkrecht auf dem Weg?
Hinweis zu Aufgabe c)
Zeichne die Dreiecke RLS und R′L′S′ und fahre sie mit dem Finger ab. Was passiert beim Spiegeln mit dem Umlaufsinn?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Von R(2 | 6) sind es 2 Diagonalschritte (je 1 nach rechts, 1 nach unten) bis zum Weg bei (4 | 4) und 2 weitere bis R′(6 | 2). Ebenso: L′(9 | 3) und S′(8 | 1). Bei diesem Weg werden die beiden Koordinaten einfach vertauscht. Die Vogeltränke liegt auf dem Weg und bleibt, wo sie ist.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ole käme von R(2 | 6) waagerecht zum Weg bei (6 | 6) — 4 Kästchen — und dann 4 weiter zu (10 | 6). Richtig ist aber R′(6 | 2). Oles Vorschlag ist falsch: Beim Spiegeln muss die Verbindung RR′ senkrecht auf der Achse stehen. Das klappt mit „waagerecht“ nur bei einer senkrechten Achse, nicht bei einem schrägen Weg.

Weg✗R′L′S′RLSV012345678910012345678910
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Lena hat nicht recht. Links läuft R → L → S tatsächlich gegen den Uhrzeigersinn. Beim Spiegeln kehrt sich der Umlaufsinn aber immer um: R′ → L′ → S′ läuft im Uhrzeigersinn. Das sieht man, wenn man R′(6 | 2), L′(9 | 3), S′(8 | 1) einzeichnet und abfährt. Vollständig ist die Antwort mit Urteil, Begründung über die Umkehrung des Umlaufsinns und einer Kontrolle an der Zeichnung.